C'est l'histoire d'un petit bonhomme qui se met à compter les nombres naturels. 1,2,3,4,5... C'est ainsi que ce bonhomme dénombre l'infini des nombres naturels. Maintenant, c'est toujours ce même bonhomme qui se dit, tiens, je vais compter les nombres rationnels. 0.111111..., 0.15478...,0.98558...,0.4564...,0.4541.... Le petit bonhomme tout fier pense avoir dénombrer les nombres rationnels, comme il l'a fait avec les nombres naturels. Mais voilà, un autre petit bonhomme vient pointer son nez et dit:
-Ah non! il te manque un nombre:
0.11111111....
0.15478......
0.98558.....
0.4564....
0.4541....
....

Si tu remplaces les chiffres: 1 par 2, 2 par 3, 3 par 4,... et 9 par 0, du nombre diagonal sélectionné en gras, le nouveau nombre qui apparait n'est pas dans ton dénombrement...

En effet, remplaçons au lieu de 1554... on a 2665..., donc 0.2665...., nombre qui n'est pas compris, en effet, à la ligne où il y a ce nombre, le chiffre gras de ce nombre, disons c, a le paradoxe de valoir ceci: c=c+1....

Moi, franchement, ça me retourne.... J'espère que j'ai pas trop mal expliquer, sinon que l'on me corrige....

C'est là l'argument de la diagonale de Cantor, utilisé dans la construction des nombres réels Classique, mais toujours fascinant !

Pauvre Cantor ne croyant pas à ses propres infinis!
Pauvre Cantor ne croyant qu'à l'indéfini!
Pauvre Cantor échouant sur les rives de la vie!
Pauvre Cantor ne supportant pas que Dieu soit anéanti!
Sous la matraque d'une théorie!
Pauvre Cantor, pauvre indécis!

(Juste envie d'encenser les fous d'un siècle passé, qui se perdit tout comme Nietszche dans les nimbes de la folie)

Cet ensensé serait donc mort insensé ?

Si tu permets, par pureté mathématique, je te corrige une petite erreur d'inattention, et je le met à ma sauce. En ce qui concerne l'erreur d'inattention, elle prouve que tu es un vrai matheux.

Prométhée a écrit:

C'est l'histoire d'un petit bonhomme qui se met à compter les nombres naturels. 1,2,3,4,5... C'est ainsi que ce bonhomme dénombre l'infini des nombres naturels.

Pour s'amuser pourrais-tu me montrer que les couples (ordonnés) de nombres entiers, peuvent être numérotés ?

Prométhée a écrit:

Maintenant, c'est toujours ce même bonhomme qui se dit, tiens, je vais compter les nombres IRrationnels

Je me contenterais pour l'instant de ceux compris entre 0 et 1 inclus

Prométhée a écrit:

0.111111...; 0.15478...;0.98558...;0.4564...;0.4541.... Le petit bonhomme tout fier pense avoir dénombré les nombres [IR]rationnels [de l'intervalle [0,1]], comme il l'a fait avec les nombres naturels. Mais voilà, un autre petit bonhomme vient pointer son nez et dit: -Ah non! il te manque un nombre: 0.11111111.... 0.15478...... 0.98558..... 0.4564.... 0.4541.... ....

J'appelle A[n,p] la p-ième décimale du nombre situé à la n-ième ligne

Prométhée a écrit:

Si tu remplaces les décimales du type A[k,k]: 1 par 2, 2 par 3, 3 par 4,... et 9 par 0, du nombre diagonal sélectionné en gras , x défini par son appartenance à [0,1] et par le fait que sa p-ième décimale soit A[p,p] , le nouveau nombre qui apparait n'est pas dans ton dénombrement...

J'aime bien remplacer ce passage par

"remplacer toute décimale de type A[n,n] par le représentant compris entre 0 et 9 de la classe de A[n,n]+1, dans la relation d'équivalence a R b ssi il existe n entier tel que b-a=10*n"

ou

"remplacer toute décimale de type A[n,n] par le représentant entre 0 et 9 de A[n,n]+1 modulo 10"


Remplaçons: au lieu de x= 0, 1554 (issu de la diagonale) on obtiens un nombre y 0.2665...., nombre qui n'est pas compris dans le tableau, en effet,sinon il aurait un numéro que j'appelle k, à la ligne où il y a ce nombre, la décimale A[k,k], disons c, a le paradoxe de valoir ceci: c=c+1....
[/quote]
en effet y occupant une ligne sa ke diagonale se trouve dans la diagonale du tableau donc yk= A[k,k] mais par définition de y , yk=xk+1 = A[k,k]+1

Moi, franchement, ça me retourne.... J'espère que je n'ai pas trop mal expliqué, sinon que l'on me corrige....[/quote]

Voilà c'est fait.

Pour me remercier, n'oublie pas de montrer que les couples d'entiers sont dénombrables
c'est à dire en relation biunivoque avec les entiers, ou en langage simple numérotable (avec un seul numéro pour chaque couple et un seul couple pour chaque numéro)

Prométée, est-ce que tu as eu le temps de revenir?

Est-ce que cela t'intéresse la preuve que les couples d'entiers forment un ensemble qui est numérotable, (en plus un numéro pour un couple et un couple par numéro) ?

Si tu veux retrouver des infinis non numérotables, tu en a a un à la portée de ta main :

L'ensemble des parties de N (N est l'ensemble des entiers).

Si tu reviens, je te demande de le montrer, stp .

Cerise sur le gateaux (mais les autres vous avez le droit aussi de metre votre grain de sel), tu peux faire correspondre
les parties de N avec les nombres entre [0,1]
avec une partie pour un seul nombre et un nombre pour une seule partie.