Héhé, de toute façon c'est un principe de base des maths, ne pas l'accepter, c'est remettre en cause le reste des maths et par la meme occasion notre facon de percevoir le monde, et ce meme si cela "parait" bizarre, et d'ailleurs en allant plus loin notamment en physique quantique, il ya pas mal de petites expériences dont les résultats peuvent paraitre bizarres mais pourtant vrai:

Un petit exemple; en admettant que le vitesse de la lumière est une constante, quelqu'un qui aurait une torche et la pointerait dans une direction, la lumière émise aurait une certaine vitesse. Prenons maintenant quelq'un dans un train qui pointerait lui aussi une troche dans la meme direction, normalement les deux vitesse devraient s'additionner et un faiseau lumineux irait plus vite que l'autre, c'est qui parait logique. Pourtant, ils arrivent en meme temps, et avec la meme vitesse, comme v=d/t , c'est donc le temps qui a changé, ainsi le temps qui s'écoule dans le train et a l'extérieur n'est pas le meme, ça parait bizarre mais c'est comme ça, il faut bien l'accepter....

D'autre part, je rajoute que
a) les maths sont une discipline totalitaire
b) vous avez les axiomes de la logique et les axiome de la théorie des ensembles (ZF) On laissera de côté les théories de Lobatchevski et de Riemann.
En maths vous ne pouvez écrire une phrase qu'en vous appuyant sur ces axiomes ou sur un théorème découlant de ces axiomes.

Or celui qui s'est permis d'écrire que
si x= 0,99999999999999...
alors 10x = 9,999999999999999............

l'a écrit sans s'appuyer sur les axiomes logiques ou de la théorie des ensembles.

Cette écriture est HORS MATHS !

Ainsi tout le raisonnement est un SOPHISME !
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Cependant 0,9999999999999.... est bien égal à 1
mais la démonstration doit être autre.

"Sa reviens a dire qu'une valeur a laquelle on
enlève une infime partie est égale a l'entité qu'elle était avant cette
extraction."

Sauf que cette infime partie "enlevée" est infiniment petite, et déclarée égale à zéro. Si elle ne l'était pas, on pourrait en trouver une encore plus petite, et donc créer un nombre encore plus proche de 1, et le nombre de départ ne serait par conséquent pas 0.999999999...

C'est pas une question de rationnel ou pas, tant que c'est un nombre réel on peut.
Dès lors qu'on a deux nombres réels différents, il est toujours possible d'en trouver un troisième entre les deux. (Pour s'en convaincre il suffit de se représenter l'ensemble des réels comme une droite continue)

Le problème de compréhension vient du concept d'infini.
Tu raisonnes comme si l'infini était vachement grand, mais fini.
Ici il n'y a pas d'erreur. "L'erreur est infiniment petite", et ce "infiniment petite" veut dire "égale à zéro", et pas "infinitésimal" ici.

Bien sûr que si les irrationnels sont réels.

Citation:

Les nombres réels (dont l'ensemble est noté ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu'ils soient positifs, négatifs ou nuls, ayant une représentation décimale finie ou infinie. Autrement dit, ce sont les rationnels (qui peuvent s'écrire sous forme de fraction) complétés par les nombres dont la représentation décimale est infinie non périodique[1], tels la racine carrée de 2 et π. Ces derniers sont appelés nombres irrationnels.

Infinitésimal c'est extemement petit. Infiniment petit, c'est zéro.
Quoi que tu prennes de plus grand que zéro, je peux te répondre qu'il existe encore plus petit : le zéro. Donc tu n'étais pas à l'infiniment petit, s'il y a encore plus petit.

_________________
"Il n’y a aucune limite (vitesse de la lumière, zéro absolu...) que l’esprit de l’homme ne puisse franchir dans un calcul foireux."

.

Ah ouais j'ai confondu R et D^^
Mais du coup je suis pas d'accord!!!
Les réels sont là pour représenté le plus grand ensemble possible. Donc il possède le nombre qui se trouve hypothétiquement juste avant 1.

Bah non, et c'est justement l'argument : quel que soit le nombre qu'on prenne, aussi proche de 1 qu'il soit, on peut toujours en prendre un encore plus proche.
Il n'y a pas de nombre "juste avant". L'ensemble réel est continu.


Sur une droite (la droite des nombres réels), deux nombres différents ont une position différente sur la droite. On peut toujours couper quelque part entre les deux.
Dessinez une droite, représentez le 1, et le nombre "juste avant". A moins qu'ils ne soient le même nombre, vous pouvez toujours zoomer et prendre un nouveau nombre entre les deux.
Moralité : on ne peut pas dessiner ce nombre "juste avant" sur une droite. Or les réels sont sensés représenter des longueurs. Si on ne peut pas différencier la longueur qui représente le 1 de la longueur qui représente 0,999999.... (même en zoomant autant qu'on veut), ces longueurs sont les mêmes et le nombre est le même.

Pas très matheux comme démonstration, mais j'ai des excuses :
1) je suis physiqueux
2) le but que je recherche n'est pas de vous le démontrer rigoureusement, mais de vous convaincre que c'est vrai.


(p.s : il y a des ensembles plus grands que R, mais là on s'éloigne du sujet.)
p.p.s : Par contre je laisse tomber maintenant. Faites le dessin et si ça vous convainc pas je passe mon tour.

Et bien Maeander, merci! ... j'ai fini par capter un peu grâce à cette démonstration physiqueuse

Bon.
Tu n'as RIEN compris.
Est ce que tu as fait le dessin de la droite au moins ?

Il n'y a pas de D qui tienne. Ici on travaille bien évidemment dans R, qui contient donc D (ce qui implique que si on peut écrire un nombre dans D, on peut l'écrire dans R). On n'en parle meme pas de D, c'est pas intéressant. Toutes les grandeurs réelles peuvent s'écrire dans R, donc on prend R. Si tu reparles de D, je me fâche.

0,999999999.... c'EST un nombre (pour mémoire, les irrationnels sont des nombres). C'est même le nombre 1, même si tu n'en es pas convaincu. L'écriture avec des pointillés sert a montrer qu'il y a une infinité de 9 après la virgule, qu'on ne peut pas écrire autrement, mais c'est bien un nombre, pas une vulgarisation de nombre. Les ... indiquent qu'on met tous les 9 à la suite, mais sans prendre la peine de les écrire. Simple question de convention : un nombre est un nombre, il n'est pas son écriture.

Ton exemple 0,0000....00001 est très différent de 0,999... , parce que dans le premier, il y a un nombre FINI de 0 avant le 1, sinon tu ne peut pas écrire la fin "...001". Le déclarer égal à zéro est donc bien une approximation.
Dans 0,999... Il n'y a pas de dernière décimale. On ne coupe ni n'ajoute rien pour le déclarer égal à 1. La "différence" entre 0,999... et 1, c'est 0,000... c'est à dire zéro. Si tu mets 0,000...001, tu mets un dernier terme, ce n'est pas le "infiniième" terme. Si tu mets 0,00..001, je peux rétorquer qu'il y a des nombres encore plus petits en divisant ce nombre par 10. Mais si tu mets 0, si je le divise, ça fera toujours 0, donc on est bien arrivé à la plus petite différence possible, un nombre infiniment petit qui est donc zéro.
Si ton nombre n'était pas zéro, il ne serait pas infiniment petit, puisqu'on peut aisément donner un nombre encore plus petit. ("encore plus que l'infini" = baah pas bo)



Dessine donc cette fichue droite : si tu bosses en continu, tu es dans R !
Voir les arguments posts précédents.

Sinon :
1/3 = 0,3333333...
(1/3)*3 = 0,3333... * 3 = 0,9999...

or(1/3)*3 = 1

donc 0,999... = 1
Je n'ai fait aucune approximation dans ce raisonnement.

Pas besoin de s'inquiéter d'infinitésimal : l'infiniment petit, le zéro et l'infinitésimal ont posé des problèmes graves aux meilleurs matheux durant plus d'un siècle au bas mot. Mais tu n'as aucune raison d'introduire un élément infinitésimal entre 1 et 0,999...

Personnellement, je n'ai jamais vu de nombres infinitésimaux "gratuits", ce sont des différentielles de fonctions ou des éléments ou variations infimes de grandeurs physiques. Mais j'avoue que mon savoir en la matière est relativement limité.

En vrac : tu n'as pas compris R et D, ni ce qu'est un nombre et une notation et le rapport entre les deux, ni ce qu'est l'infini (sinon tu ne peux soutenir que 0,00....001 a une infinité de 0), et je n'utilise aucune division euclidienne mais une fraction, il n'y a donc pas de reste.
Les mathématiques me donnent raison (meme si ton entêtement m'a conduit a employer des démonstrations foireuses, voire fausses dans le but de te faire comprendre.)
Je suis sincèrement désolé, mais je me retire du "débat".
J'avoue mon impuissance et mon manque de patience.

C'est de l'humour?

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