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 L'infini indénombrable...

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Prométhée



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MessageSujet: L'infini indénombrable...   Jeu 15 Fév 2007 - 22:47

C'est l'histoire d'un petit bonhomme qui se met à compter les nombres naturels. 1,2,3,4,5... C'est ainsi que ce bonhomme dénombre l'infini des nombres naturels. Maintenant, c'est toujours ce même bonhomme qui se dit, tiens, je vais compter les nombres rationnels. 0.111111..., 0.15478...,0.98558...,0.4564...,0.4541.... Le petit bonhomme tout fier pense avoir dénombrer les nombres rationnels, comme il l'a fait avec les nombres naturels. Mais voilà, un autre petit bonhomme vient pointer son nez et dit:
-Ah non! il te manque un nombre:
0.11111111....
0.15478......
0.98558.....
0.4564....
0.4541....
....

Si tu remplaces les chiffres: 1 par 2, 2 par 3, 3 par 4,... et 9 par 0, du nombre diagonal sélectionné en gras, le nouveau nombre qui apparait n'est pas dans ton dénombrement...

En effet, remplaçons au lieu de 1554... on a 2665..., donc 0.2665...., nombre qui n'est pas compris, en effet, à la ligne où il y a ce nombre, le chiffre gras de ce nombre, disons c, a le paradoxe de valoir ceci: c=c+1....

Moi, franchement, ça me retourne.... J'espère que j'ai pas trop mal expliquer, sinon que l'on me corrige....
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Duan Yu

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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Jeu 15 Fév 2007 - 23:27

C'est là l'argument de la diagonale de Cantor, utilisé dans la construction des nombres réels Smile Classique, mais toujours fascinant !
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Prométhée



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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Ven 16 Fév 2007 - 13:26

Pauvre Cantor ne croyant pas à ses propres infinis!
Pauvre Cantor ne croyant qu'à l'indéfini!
Pauvre Cantor échouant sur les rives de la vie!
Pauvre Cantor ne supportant pas que Dieu soit anéanti!
Sous la matraque d'une théorie!
Pauvre Cantor, pauvre indécis!

(Juste envie d'encenser les fous d'un siècle passé, qui se perdit tout comme Nietszche dans les nimbes de la folie)
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Atil

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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Ven 16 Fév 2007 - 19:51

Cet ensensé serait donc mort insensé ?
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cébé

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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Ven 16 Fév 2007 - 19:57

rires

_________________
"Jacques 3:1 Ne soyez pas nombreux, mes frères, à devenir docteurs. Vous le savez, nous n’en recevrons qu’un jugement plus sévère"
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matheux



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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Ven 11 Sep 2009 - 20:25

Si tu permets, par pureté mathématique, je te corrige une petite erreur d'inattention, et je le met à ma sauce. En ce qui concerne l'erreur d'inattention, elle prouve que tu es un vrai matheux.

Prométhée a écrit:
C'est l'histoire d'un petit bonhomme qui se met à compter les nombres naturels. 1,2,3,4,5... C'est ainsi que ce bonhomme dénombre l'infini des nombres naturels.


Pour s'amuser pourrais-tu me montrer que les couples (ordonnés) de nombres entiers, peuvent être numérotés ?

Prométhée a écrit:

Maintenant, c'est toujours ce même bonhomme qui se dit, tiens, je vais compter les nombres IRrationnels

Je me contenterais pour l'instant de ceux compris entre 0 et 1 inclus

Prométhée a écrit:

0.111111...; 0.15478...;0.98558...;0.4564...;0.4541.... Le petit bonhomme tout fier pense avoir dénombré les nombres [IR]rationnels [de l'intervalle [0,1]], comme il l'a fait avec les nombres naturels.

Mais voilà, un autre petit bonhomme vient pointer son nez et dit:
-Ah non! il te manque un nombre:
0.11111111....
0.15478......
0.98558.....
0.4564....
0.4541....
....

J'appelle A[n,p] la p-ième décimale du nombre situé à la n-ième ligne


Prométhée a écrit:

Si tu remplaces les décimales du type A[k,k]: 1 par 2, 2 par 3, 3 par 4,... et 9 par 0, du nombre diagonal sélectionné en gras , x défini par son appartenance à [0,1] et par le fait que sa p-ième décimale soit A[p,p] , le nouveau nombre qui apparait n'est pas dans ton dénombrement...

J'aime bien remplacer ce passage par

"remplacer toute décimale de type A[n,n] par le représentant compris entre 0 et 9 de la classe de A[n,n]+1, dans la relation d'équivalence a R b ssi il existe n entier tel que b-a=10*n"

ou

"remplacer toute décimale de type A[n,n] par le représentant entre 0 et 9 de A[n,n]+1 modulo 10"


Remplaçons: au lieu de x= 0, 1554 (issu de la diagonale) on obtiens un nombre y 0.2665...., nombre qui n'est pas compris dans le tableau, en effet,sinon il aurait un numéro que j'appelle k, à la ligne où il y a ce nombre, la décimale A[k,k], disons c, a le paradoxe de valoir ceci: c=c+1....
[/quote]
en effet y occupant une ligne sa ke diagonale se trouve dans la diagonale du tableau donc yk= A[k,k] mais par définition de y , yk=xk+1 = A[k,k]+1

Moi, franchement, ça me retourne.... J'espère que je n'ai pas trop mal expliqué, sinon que l'on me corrige....[/quote]

Voilà c'est fait.

Pour me remercier, n'oublie pas de montrer que les couples d'entiers sont dénombrables
c'est à dire en relation biunivoque avec les entiers, ou en langage simple numérotable (avec un seul numéro pour chaque couple et un seul couple pour chaque numéro)
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matheux



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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Ven 11 Sep 2009 - 20:26

Atil a écrit:
Cet ensensé serait donc mort insensé ?

oui d'ailleurs, sans jeu de mot, la diagonale dont parle Prométée est appelée ...
diagonale... du fou.
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matheux



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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Sam 19 Sep 2009 - 15:46

Prométée, est-ce que tu as eu le temps de revenir?

Est-ce que cela t'intéresse la preuve que les couples d'entiers forment un ensemble qui est numérotable, (en plus un numéro pour un couple et un couple par numéro) ?

Si tu veux retrouver des infinis non numérotables, tu en a a un à la portée de ta main :

L'ensemble des parties de N (N est l'ensemble des entiers).

Si tu reviens, je te demande de le montrer, stp .

Cerise sur le gateaux (mais les autres vous avez le droit aussi de metre votre grain de sel), tu peux faire correspondre
les parties de N avec les nombres entre [0,1]
avec une partie pour un seul nombre et un nombre pour une seule partie.
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Sylvania

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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Sam 23 Avr 2011 - 14:43

Logique sur les ALEPH

0) par définition:
Deux ensembles (finis ou infinis) ont mêmes cardinaux si et seulement si
il est possible de construire une bijection entre ces deux ensembles
Par contre dans le cas contraire leurs cardinaux sont différents
Mais ON NE PEUT PAS à partir de cette inégalité établir une quelconque
relation d'ordre par conséquent on ne peut pas dire si l'un est plus
grand que l'autre ceci ne nous concerne pas dans le sujet

1) On peut effectuer une bijection entre N et Z
j'en déduit donc:
card(N) = card(Z)

2) On peut effectuer une bijection entre N et Q
j'en déduit donc:
card(N) = card(Q)

3) Il est impossible de construire une bijection entre N et R
j'en déduit donc que
card(N) n'est pas égal à card(R)

4) Il est impossible de construire une bijection
entre R et P(R) c'est à dire l'ensemble de toutes les parties de R
j'en déduit donc que
card(R) n'est pas égal à card( P(R) )


5) il est possible de construire une bijection entre R et P(N)
j'en déduit donc:
card(R) = card( P(N) )


Pour les paragraphes 4) et 5) je n'est pas parlé de relation d'ordre et bien affirmé
non égal et non pas supérieur ou inférieur
ce qui n'est pas pareil comme je l'ai souligné


Traduction sans les mots

je pose card(N) = ALEPH0 et card(R) = ALEPH1
alors d'après ce que j'ai dit plus haut:
je n'obtiens pas d'égalité entre ALEPH0 et ALEPH1

je n'ai jamais dit que
ALEPH0 > ALEPH1 ou ALEPH1 > ALEPH0


Ensuite étant donné le paragraphe 5)
et soyons logique
si comme on peut le verifier (celui qui le conteste peut toujours le faire)
il est possible de construire une bijection entre R et P(N)
j'en déduit donc:
card(R) = card( P(N) ) comme je l'ai dit par consequent
étant donné que j'ai posé: card(N)=ALEPH0 et card(R)=ALEPH1
il résulte donc obligatoirement:

2 ^ ALEPH0 = ALEPH1

et d'ailleurs on peut aussi démontrer que:

x ^ ALEPH0 = ALEPH1 avec avec qqs(quelquesoit) x app(appartiens à) N-{0,1}


Ensuite on pose
card ( P(R) ) = ALEPH2
card ( P(P(R)) ) = ALEPH3
et ainsi de suite on obtiens 2 ^ ALEPHa = ALEPHb avec b=a+1

Ce que l'on peut démontrer:

ALEPHa = ALEPHa + x avec qqs x app N

ALEPHa = ALEPHa . x avec qqs x app N

ALEPHa = ALEPHa ^ x avec qqs x app N*

ALEPHb = x ^ ALEPHa avec qqs x app N-{0,1} et avec b=a+1


L'hypothese du continu est indécidable paul Cohen 1963

c'est à dire l'hypothese qu'en établissant une relation d'ordre pour les transfinis ALEPHa
on admet qu'il n'existe pas de cardinal tranfini X tel que
ALEPHa < X < ALEPHb avec b = a+1
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zizanie

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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Ven 17 Juin 2011 - 14:11

Le problème avec les nombres transfinis, c'est qu'on pose un cardinal sur une quantité infinie.
C'est d'autant plus troublant que la comparaison de cardinalité est basée sur la bijection d'ensembles infinis.

Si on prend un sous ensemble fini [0 ..9] dans N
A contient tous les élements de ce sous ensemble et P' les éléments pairs de ce sous ensemble.
Il est évident que la cardinalité de A est 10 et celle de P' est 5

Dans le cas des transfinis, la cardinalité de l'ensemble N est la même que celle du sous ensemble des nombres pairs P de N. En effet, la bijection de N sur P est possible en associant x de N à 2x de P.

L'infini nous emporte dans une autre dimension, un peu comme les fractals qui eux ont des dimensions non entières.
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Sylvania

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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Ven 17 Juin 2011 - 22:05

zizanie a écrit:
Le problème avec les nombres transfinis, c'est qu'on pose un cardinal sur une quantité infinie.
C'est d'autant plus troublant que la comparaison de cardinalité est basée sur la bijection d'ensembles infinis.

Si on prend un sous ensemble fini [0 ..9] dans N
A contient tous les élements de ce sous ensemble et P' les éléments pairs de ce sous ensemble.
Il est évident que la cardinalité de A est 10 et celle de P' est 5

Dans le cas des transfinis, la cardinalité de l'ensemble N est la même que celle du sous ensemble des nombres pairs P de N. En effet, la bijection de N sur P est possible en associant x de N à 2x de P.

L'infini nous emporte dans une autre dimension, un peu comme les fractals qui eux ont des dimensions non entières.
zizanie a écrit:
.Le problème...
Je ne devais pas rappeler mais bon...(quand on aime on ne compte pas C'EST FAUX LA PREUVE PHILO:Ah Ah Ah )
En fait ce dont il parle est défini par rapport aux axiomes de départ
c'est magique mais en matiere d'infini l'axiomatique de cantor n'est pas la seule par contre elle est exacte en ce sens qu'ici
il faudra faire tres attention avec cette definition
MAISIl reste une possibilité de définition sur l'infini en dehors du contexte
Sylvania a écrit:
Logique sur les ALEPH

0) par définition:
Deux ensembles (finis ou infinis) ont mêmes cardinaux si et seulement si
il est possible de construire une bijection entre ces deux ensembles
Par contre dans le cas contraire leurs cardinaux sont différents
Mais ON NE PEUT PAS à partir de cette inégalité établir une quelconque
relation d'ordre par conséquent on ne peut pas dire si l'un est plus
grand que l'autre ceci ne nous concerne pas dans le sujet

1) On peut effectuer une bijection entre N et Z
j'en déduit donc:
card(N) = card(Z)

2) On peut effectuer une bijection entre N et Q
j'en déduit donc:
card(N) = card(Q)

3) Il est impossible de construire une bijection entre N et R
j'en déduit donc que
card(N) n'est pas égal à card(R)

4) Il est impossible de construire une bijection
entre R et P(R) c'est à dire l'ensemble de toutes les parties de R
j'en déduit donc que
card(R) n'est pas égal à card( P(R) )


5) il est possible de construire une bijection entre R et P(N)
j'en déduit donc:
card(R) = card( P(N) )


Pour les paragraphes 4) et 5) je n'est pas parlé de relation d'ordre et bien affirmé
non égal et non pas supérieur ou inférieur
ce qui n'est pas pareil comme je l'ai souligné


Traduction sans les mots

je pose card(N) = ALEPH0 et card(R) = ALEPH1
alors d'après ce que j'ai dit plus haut:
je n'obtiens pas d'égalité entre ALEPH0 et ALEPH1

je n'ai jamais dit que
ALEPH0 > ALEPH1 ou ALEPH1 > ALEPH0


Ensuite étant donné le paragraphe 5)
et soyons logique
si comme on peut le verifier (celui qui le conteste peut toujours le faire)
il est possible de construire une bijection entre R et P(N)
j'en déduit donc:
card(R) = card( P(N) ) comme je l'ai dit par consequent
étant donné que j'ai posé: card(N)=ALEPH0 et card(R)=ALEPH1
il résulte donc obligatoirement:

2 ^ ALEPH0 = ALEPH1

et d'ailleurs on peut aussi démontrer que:

x ^ ALEPH0 = ALEPH1 avec avec qqs(quelquesoit) x app(appartiens à) N-{0,1}


Ensuite on pose
card ( P(R) ) = ALEPH2
card ( P(P(R)) ) = ALEPH3
et ainsi de suite on obtiens 2 ^ ALEPHa = ALEPHb avec b=a+1

Ce que l'on peut démontrer:

ALEPHa = ALEPHa + x avec qqs x app N

ALEPHa = ALEPHa . x avec qqs x app N

ALEPHa = ALEPHa ^ x avec qqs x app N*

ALEPHb = x ^ ALEPHa avec qqs x app N-{0,1} et avec b=a+1


L'hypothese du continu est indécidable paul Cohen 1963

c'est à dire l'hypothese qu'en établissant une relation d'ordre pour les transfinis ALEPHa
on admet qu'il n'existe pas de cardinal tranfini X tel que
ALEPHa < X < ALEPHb avec b = a+1
Cette possibilité tiens du fait de ce que l'on appelle les classes d'equivallences
je m'explique:
si je dit que A est equivallent à B dans un sous ensemble on peut etablir dans ce sous ensemble des lois L.C.I.
dans lequels ces lois resteront valables
mais on peut definir des autres classes d'equivallences dans lesquels ces L.C.I. ne seront pas valables
exemple:
Les transfinis de Cantor sont valables uniquement selon ce qui est decrit plus haut mais quand on parle des hyper-reels ces lois ne sont plus valables les equivallences sont effectuees sur d'autres objets que les entiers naturels(même si à la base tout tiens d'eux mais considérez:)
en ce qui concerne les hyper reels il sagit d'objets de la forme
des developements en serie De Taylor de fonctions
seulement il y a un piege quand sur certaines d'entre ces fonctions on obtiens une serie non convergente
par exemple 1!x+2!x+3!x+...
on peut trouver un autre moyen d'etablir une autre suite qui elle sera convergente
pour finir quand on parle d'infini (ou même d'autre concept) il faut bien définir les termes.

Sylvania.
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zizanie

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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Sam 18 Juin 2011 - 22:16

Ces infinis sont la bête noire des physiciens alors que les mathématiciens s'y plaisent comme des poissons dans l'eau! Moi, ça me donne le vertige. mouaich
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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Dim 19 Juin 2011 - 2:25

zizanie a écrit:
Ces infinis sont la bête noire des physiciens alors que les mathématiciens s'y plaisent comme des poissons dans l'eau! Moi, ça me donne le vertige. mouaich
Oui si on veut on est des poissons avec la peur au ventre
mais avec cette peur on est pareil
salut Ami mais j' ai menti je ne suis pas plus mathématicien que mes chats
Si je me permet de vous répondre cela est amicalement pour vous rappeler
que cette entité nous dépasse pour l'eternité

Sylvania
Allez faisons notre vie TERMINATOR 3 LE SOULEVEMENT DES MACHINES
et en plus le pire(?) ces "machines" je les aime
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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Dim 19 Juin 2011 - 8:26

C'est dommage, les binolittéraires, c'était une bonne idée, non!
Mais je me méfie de l'éternité comme des infinis mais pas forcement des nouvelles idées.

Mentir, c'est tuer le temps ... et le temps, lui, nous tuera tous, ne l'oublions pas!

Quoi qu'il en soit, il n'est pas nécessaire d'être mathématicien pour aimer les maths.
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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Dim 19 Juin 2011 - 17:35

oui c'est une bonne idée c'est exploitable
de toute façon elle est là et elle ne peut pas s'éclipser
(mais je suis hors sujet)
merci
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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Lun 20 Juin 2011 - 15:03

matheux a écrit:
Prométée, est-ce que tu as eu le temps de revenir?

Est-ce que cela t'intéresse la preuve que les couples d'entiers forment un ensemble qui est numérotable, (en plus un numéro pour un couple et un couple par numéro) ?

Si tu veux retrouver des infinis non numérotables, tu en a a un à la portée de ta main :

L'ensemble des parties de N (N est l'ensemble des entiers).

Si tu reviens, je te demande de le montrer, stp .

Cerise sur le gateaux (mais les autres vous avez le droit aussi de metre votre grain de sel), tu peux faire correspondre
les parties de N avec les nombres entre [0,1]
avec une partie pour un seul nombre et un nombre pour une seule partie.
Alors, je mets mon grain de sel même si Sylvania a répondu avec les transfinis, voici la numérotation arithmétique classique.
Donc pour numéroter les couples, c'est simple, il suffit de les imaginer dans un tableau (à 2 dimensions).
Tout couple (x,y) de N représente l’abscisse et l'ordonnée d'un tableau à 2 dimensions.
A partir de là, il suffit de les dénombrer en parcourant le tableau en diagonales successivement:
Diagonale 0: 0 -> (0,0)
Diagonale 1: 1 -> (0,1) ; 2 -> (1,0)
Diagonale 2: 3 -> (0,2) ; 4 -> (1,1) ; 5 -> (2,0)

Diagonale n: Tn+1 -> (0,n) ; ....;Tn+x -> (x-1,n-x+1) ; ...... ; T( n+1) -> (n,0) / avec Tn = n(n+1)/2 nombre triangulaire des éléments de la diagonnale n-1 à la diagonale 0
etc ...

On peut également faire l'exercice avec des triplets (x,y,z) ou des n-uplet (x1,x2,x3, .....,xn) si ça vous tente, c'est la même méthode mais c'est plus long!
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zizanie

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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   Lun 20 Juin 2011 - 16:06

Si vous faites l'exercice avec des 3-uplets (triplets) 4-uplets, n-uplets, vous allez entrer dans l'univers fascinant des nombres pyramidaux à base triangulaire, hyper-pyramidaux à base pyramidale, etc ...

Mais il n'est pas nécessaire de les parcourir pour les dénombrer, ici montrer qu'ils sont dénombrables est suffisant.
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MessageSujet: Re: L'infini indénombrable...   

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