Tout comme le cercle, le triangle ou le carré sont des objets de la géométrie plane, on pourrait dire que E8 est un objet de la théorie des groupes de Lie. En fait, E8 est un groupe de Lie. En gros, un groupe de Lie est une structure mathématique permettant de représenter les symétries présentes dans un système physique.
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Par exemple, supposons que le Soleil soit une sphère qui émet de la lumière dans toutes les directions. Que signifie l'expression "dans toutes les directions" ? Cela signifie que si on regarde la lumière qui nous vient du Soleil, et celle qui nous vient de lui après l'avoir fait tourner sur lui-même, alors on ne remarque pas de différence fondamentale.
Autrement dit, la lumière qui nous vient du Soleil reste identique même si on fait subir des rotations au Soleil. Ceci traduit une propriété de symétrie du Soleil : « La lumière émise ne change pas quand on tourne le Soleil. » Dans le jargon, on dit que la loi qui régit l'émission lumineuse du Soleil est invariante sous l'action des rotations.
Maintenant, on peut se demander si, en étudiant uniquement les propriétés des rotations, on peut en déduire (une partie de) la structure du Soleil. La réponse est oui ! L'objet d'étude devient donc maintenant les rotations elles-mêmes.
Hé bien l'ensemble des rotations décrites ci-dessus, on le note SO(3) et c'est ce qu'on appelle un groupe de Lie.
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Un groupe de Lie représente donc un ensemble de transformations sous l'action desquelles une propriété d'un système physique se conserve (phrase à méditer). Autrement dit, un groupe de lie représente des symétries d'un système physique.
Il se trouve que l'étude des symétries d'un système fournit énormément d'informations sur le système lui-même. Voilà la motivation de la théorie des groupes de Lie : étudier des systèmes physiques à travers l'étude de leurs symétries.
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La théorie des groupes de Lie est extrêmement puissante. Parmi ses réussites à ce jour, on peut citer 3 groupes de Lie particuliers : U(1), SU(2) et SU(3). Ces 3 objets expriment les caractéristiques de 3 des 4 forces fondamentales de la nature : l'électromagnétisme, l'interaction faible et l'interaction forte !
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Quant au groupe E8, je ne sais pas précisément à quoi il est associé, mais je sais qu'il intervient dans des théories qui tentent de généraliser la physique actuelle (des théories d'unification). Mais normalement, avec ce qui précède, on devrait voir un peu la motivation globale de cette branche des maths-physique.