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 Youpieeeee! ... l'E8 est résolu!

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cébé

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Date d'inscription : 30/11/2004

MessageSujet: Youpieeeee! ... l'E8 est résolu!   Mer 9 Mai 2007 - 16:18

L'E8, l'un des plus grands et complexes mystères mathématiques vient d'être résolu par des chercheurs américains et européens!
Non ce n'est pas la formule cosmique magique, ni l'équation unique qu'Einstein n'a jamais trouvée ....

... l'article de presse n'en dit pas plus, en tout cas pas en termes accessibles au quidam sauf qu'il aurait fallu 36km2 en papier pour écrire les calculs et équations. Heureusement pour ma fibre écologique que ça a été fait sur ordinateur.

Quelqu'un pourrait m'extirper de la masse des quidam ( au moins de 2 millimètres) et me dire de quoi il s'agit ?

_________________
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Tao

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MessageSujet: Re: Youpieeeee! ... l'E8 est résolu!   Mer 9 Mai 2007 - 16:34

Pizza Man ou Atil, nos deux omniscients pourront sans doute nous renseigner rapidement.
J'attends avec la même impatience l'explication...
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Duan Yu

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MessageSujet: Re: Youpieeeee! ... l'E8 est résolu!   Mer 9 Mai 2007 - 17:17

Tout comme le cercle, le triangle ou le carré sont des objets de la géométrie plane, on pourrait dire que E8 est un objet de la théorie des groupes de Lie. En fait, E8 est un groupe de Lie. En gros, un groupe de Lie est une structure mathématique permettant de représenter les symétries présentes dans un système physique.

---

Par exemple, supposons que le Soleil soit une sphère qui émet de la lumière dans toutes les directions. Que signifie l'expression "dans toutes les directions" ? Cela signifie que si on regarde la lumière qui nous vient du Soleil, et celle qui nous vient de lui après l'avoir fait tourner sur lui-même, alors on ne remarque pas de différence fondamentale.

Autrement dit, la lumière qui nous vient du Soleil reste identique même si on fait subir des rotations au Soleil. Ceci traduit une propriété de symétrie du Soleil : « La lumière émise ne change pas quand on tourne le Soleil. » Dans le jargon, on dit que la loi qui régit l'émission lumineuse du Soleil est invariante sous l'action des rotations.

Maintenant, on peut se demander si, en étudiant uniquement les propriétés des rotations, on peut en déduire (une partie de) la structure du Soleil. La réponse est oui ! L'objet d'étude devient donc maintenant les rotations elles-mêmes.

Hé bien l'ensemble des rotations décrites ci-dessus, on le note SO(3) et c'est ce qu'on appelle un groupe de Lie.

---

Un groupe de Lie représente donc un ensemble de transformations sous l'action desquelles une propriété d'un système physique se conserve (phrase à méditer). Autrement dit, un groupe de lie représente des symétries d'un système physique.

Il se trouve que l'étude des symétries d'un système fournit énormément d'informations sur le système lui-même. Voilà la motivation de la théorie des groupes de Lie : étudier des systèmes physiques à travers l'étude de leurs symétries.

---

La théorie des groupes de Lie est extrêmement puissante. Parmi ses réussites à ce jour, on peut citer 3 groupes de Lie particuliers : U(1), SU(2) et SU(3). Ces 3 objets expriment les caractéristiques de 3 des 4 forces fondamentales de la nature : l'électromagnétisme, l'interaction faible et l'interaction forte !

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Quant au groupe E8, je ne sais pas précisément à quoi il est associé, mais je sais qu'il intervient dans des théories qui tentent de généraliser la physique actuelle (des théories d'unification). Mais normalement, avec ce qui précède, on devrait voir un peu la motivation globale de cette branche des maths-physique.
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Tao

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MessageSujet: Re: Youpieeeee! ... l'E8 est résolu!   Mer 9 Mai 2007 - 17:53

Je comprends mal le lien entre les surfaces et les volumes.
De plus, à quoi cela peut-il servir de constater qu'un élément à la même propriétés qu'un ensemble.
Cela me paraissait évident, avant de lire cela!

En tout cas, bravo GrosRatNoir! J'aurais presque pu comprendre, et ton explication n'est aucunement responsable de mon hermétisme.
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Duan Yu

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MessageSujet: Re: Youpieeeee! ... l'E8 est résolu!   Mer 9 Mai 2007 - 19:11

Dans mon message précédent, quand j'ai cité les cercles et les triangles en géométrie plane, ce n'était que pour faire une analogie. C'était pour dire qu'un groupe de Lie est un "objet" mathématique, un peu comme une figure géométrie est un "objet" de la géométrie. Par la suite, je n'ai parlé que de l'aspect algébrique des groupes de Lie.

---

Mais il se trouve qu'un groupe de Lie possède aussi un très fort aspect géométrique (c'est d'ailleurs là que se trouve la puissance des groupes de Lie : ils cumulent des propriétés à la fois algébrique et géométrique).

On peut donc voir un groupe de Lie à la fois comme un ensemble de transformations, et comme un objet géométrique pur. Par exemple, le groupe des rotations que j'ai mentionné avant, noté SO(3), peut être vu géométriquement comme une sphère sur laquelle 2 points situés aux antipodes l'un de l'autre représentent un même élément du groupe (affirmation hautement non-triviale ...).

Mais il s'agit-là de considérations plus authentiquement mathématiques, et je ne pense pas que cela intéresserait grand monde de s'initier à la théorie des groupes de Lie sur un forum Smile
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Atil

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MessageSujet: Re: Youpieeeee! ... l'E8 est résolu!   Mer 9 Mai 2007 - 21:50

Ce n'est pas aussi dans la théorie des supercordes qu'on utilise des groupes de symétrie SO(3) et E8 X E8 ?
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Duan Yu

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MessageSujet: Re: Youpieeeee! ... l'E8 est résolu!   Mer 9 Mai 2007 - 21:57

En tout cas, SO(3) s'utilise partout vu qu'il s'agit du simple groupe des rotations en 3D ...
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MessageSujet: Re: Youpieeeee! ... l'E8 est résolu!   

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