Truc de maths

Wolmar a écrit:

Avis aux matheux, svp expliquez-moi !
x=0.99999..................
10x=9.99999............
10x-x=9
9x=9
x=1
?????

Je ne suis pas matheux j’essaie seulement d’être logique.

x=0.99999..................
10x=9.99999............

tu as posé que x=0.99999.................. et tu n’admets pas que 0.99999…… est égale à 1
alors tu ne peux pas dire que 10x-x= 9 pusique ton x n’ a comme valeur que 0.99999…………….


Peut-on s’arrêter là ou en continue à tourner en rond.
Qu’en penses-tu ?

Je ne suis pas philosophe mais c'est peut-être la même chose que le paradoxe de Zénon, d'Achille et de la tortue.
D'un certain point de vue, Achille ne rattrape jamais la tortue vu que il lui faut franchir une infinité d'étapes. Mais en fait les longueurs entre les étapes sont de plus en plus petites, ce qui fait qu'il les franchit en une durée de plus en plus courte, et ces durées sont telles qu'au final, leur somme est fini.
Dire que Achille ne rattrape pas la tortue reviendrait à arrêter le temps (ou plutôt à le ralentir de plus en plus).
Pour 0,99999..., on fait une somme d'une infinité de termes mais qui sont de plus en plus petit, et ces termes sont tels que leur somme est 1.
A noter que ce n'est pas vrai pour toutes les sommes de termes de plus en plus petits comme: 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6... qui tend vers l'infini.

Pour revenir à 0,999...: on peut aussi dire qu'on part de 0 et qu'on divise à chaque étape la distance au nombre 1, par 10.
1-0.9=0.1
1-0.99=0.01
1-0.999=0.001
,etc...
Alors il semble normal de dire que cette distance au nombre 1 tendant vers 0, la limite de la suite soit 1.

Ce qui fait la différence, ce sont les points de suspension.

0,9999… ne se prononce pas « zéro virgule neuf neuf neuf neuf » mais « zéro virgule neuf, période neuf » et il est en effet égal à 1. C’est bien sûr une abstraction mathématique, sans réalité pour un comptable ou même un informaticien.

Une autre façon de démontrer l’égalité, peut-être plus intuitive, consiste à dire que, quel que soit le nombre, aussi petit soit-il, que l’on ajoute à 0,9… , le résultat sera toujours supérieur à 1.

(Ex : 0,9… + 0.0000001 = 1.0000009999999…)


Donc : 0,9… = 1

Ornicar a écrit:

Une autre façon de démontrer l’égalité, peut-être plus intuitive, consiste à dire que, quel que soit le nombre, aussi petit soit-il, que l’on ajoute à 0,9… , le résultat sera toujours supérieur à 1.

À condition d'ajouter l'hypothèse qu'à la base, 0.9... est inférieur ou égal à 1. (C'est idiot, mais faut le dire.) Sinon, ajouter quoi que ce soit au nombre 20 le rend également supérieur à 1, mais 20 n'est évidemment pas 1.

Il faut tout simplement, a mon avis, faire l'egalite entre 0.999999... et 1
car 1=1 et c tout car dans le cas ou 0.99999...=1
nous pouvons aussi dire 1.00000...1=1
comme les deux nombres sont egaux on peut dire que:
0.9999...*2= 1.0000....1*2
et l'ecart continu d s'agrandir

nous pouvons aussi dire que d'apres 0.999...=1 et 1.0000...1=1 que
la suite 0.9999...X et 1.0000...1X en plus l'infini convergent vers le meme resultat car ca devrais etre le meme que1X
or les deux suites n'ont pas la meme limite donc 0.999 n'est pas egal a 1

dakine a écrit:

nous pouvons aussi dire 1.00000...1=1

Ça, c'est faux. Donc le raisonnement qui le suit aussi.

explique moi en quoi c'est faux ???
c'est exactement la meme aproximation

Ben non, dans 1.000...1, le dernier 1 se trouve où ? S'il est infiniment loin à droite, il est absent tout court car il ne se trouve à aucun endroit précis, ce qui contredit l'écriture 1.000...1.

oui mais c'est la meme approximation que 9.9999999...
car 1=0.99999999.......+0.0000000000000.........1

dakine a écrit:

car 1=0.99999999.......+0.0000000000000.........1

Faux. 0,99...+0,00...1=1,00...099... ce qui n'est manifestement pas 1.

Oui ok mais en faite je pense que X doit etre un reel fini et pas indefinie

Tout nombre est un concept qui admet de multiples représentations, ainsi :
1, un, 12/12, V-IV, 0,999...
sont des réprésentations, du nombre "1", mais ils ne sont pas le nombre "1". Chaque réprésentation est signifiée par un contexte particulier. 1, 2, 12, 456,45 sont des réprésentants associés au contexte de la numération décimale, V-IV est associé à celui de la numération romaine, 0,999... est associé au contexte de l'analyse mathématique avec la notion de limite à l'infinie.
L'écriture 0,999... (0 suivi d'un nombre infini de 9) n'a pas d'autre sens que celle-ci:
c'est la limite de la suite:
u(1)=0,9
u(2)=0,99
u(3)=0,999
u(4)=0,9999
u(5)=0,99999
etc
c'est à dire que chacun de ses termes se rapproche peu à peu de la valeur 1, que l'on appelle la limite, sans jamais l'atteindre d'ailleurs.
En Analyse Mathématique on démontre, avec les outils qui lui sont propre, que la limite de la suite u(n) est précisément 1, ce qu'on abrège en écrivant
0,999...=1.

x=0,9999..... Donc un nombre qui n'atteint jamais 1, soit 1-0,000....0001
10x= 9,99999..... se n'est pas sur! 10X=1*10-0.0000...00001(l'infiniment petit qui sépare x de 1)*10
10x=10-0,000...0010(infiniment petit mais 10 fois plus grand qu'avant!) donc 10x= 9,999...99990
10x-x=10-0,000...0010-(1-0,000...0001)=10-1-0,000...0010-(-0,000...0001)
9x=9-0,000...0009
x=9/9-0,000...0009/9=1-0,000...0001 La même quantité en moins à 1 qu'au départ.
Vous êtes d'accord? (Le calcule et les pointiller schématise plus que représente vraiment l'infini, mais la notion est bien là!)

Wolmar a écrit:

Avis aux matheux, svp expliquez-moi !
x=0.99999..................
10x=9.99999............
10x-x=9
9x=9
x=1
?????

Bonjour,
a) un des axiomes de la théorie des Ensemble (ZF) dit qu'il existe au moins un ensemble E.

b) un autre axiome dit que pour n'importe quel prédicat P[x], si E est un ensemble
alors les x tels que la "collection" des x tels que x appartient à E vérifiant P[x] forment un ensemble, noté
{x appartient à E/P[x]}.

c) un autre axiome de ZF dit que si E est un ensemble alors la "collection" composée par
les éléments de E et par E lui même est elle même un ensemble.

Dans le cas particulier où p[x] est le prédicat x <> x (le symbole <> signifie différent de)
l'ensemble obtenu avec E et P [x] : x<>x
sera noté {x appartient à E / x<>x} et dans ce cas particulier 0E

On montre que si d'aventure il existait un autre ensemble dans l'univers alors 0E=0F
Cette valeur commune, obtenue à partir de n'importe ensemble G sera appelée 0 ou ensemble vide

d) à présent posons 1= {0}, posons 2 = {0; 1} ; 3= {0; 1; 2}

A] Admettons qu'il existe un ensemble N tel que
alpah) 0 appartient à N
béta) si n et un élément de N, alors nous savons que la collection composée par les éléments de n et par n lui même [ qui est elle même un ensemble que nous appelerons successeur de n] appartient à N
gamma) {x appartient à N/ O succeseur de n} = 0
delta) si il existe m appartenant à n et P une partie de N tel que
pour tous les x de P x appartient à m alors
il existe un élément n de P tel que pour tout x de P x appartient à n
Théorème il n'existe qu'un ensemble N vérifiant ces quatre conditions on l'appelera ensemble des entiers naturels et on le nottera NN

affirmation gratuite NN corespond à ce qu'on appelle dans la vie courante les nombres entiers notamment
0, 1, 2, 6 89 ,45 678, 8 876 655 544 443, et 10 puissance (10 puissance 100)
le dernier entier étant aussi appelé googleplex

B] à partir d' entiers de NN, a et b, on peut construire le couple ( qu'il ne faut ps confondre avec la paire {a,b} parcequ'il y a un ordre (a,b) <> (b, a) alors que {a,b}= {b,a}

certains de ces couples ont des ressemblances entre eux

par exmple (2,5) et (6,9) ont en commun qu'il faut ajouter 3 au premier pour atteindre le second

de même (7,3) et (13 465, 13 461) ont en commun qu'il faut ajouter le même nombre au second pour atteindre le premier.

On peut ainsi former une relation entre les couples d'entiers

admettons que tous les couples du genre (4,7); (45,48); (123 567, 123 570) soient regroupés dans un sous ensemble (de l'ensmble des couples)
Tous ces sous ensemble de couples (a, b) tels que a<b peuvent être reprenté de façon unique par un entier n tel que (0,n) appartienne au sous ensemble
On appele ce sous ensemble "+n"

d'un autre côté

Tous les couples du type (5,1); (67, 63); (346 789 987, 346 789 984) peuvent être regroupés dans un sous ensemble

et il existe un unique netier p tel que
(p,0) soit membre de ce sous-ensemble. Ce sous ensemble sera nommé "-p"

On se rend compte que chacun des couples appartient à au moins et à au plus un sous ensemble de ce genre.

Tous ces sous ensembles, de l'ensemble des couples seront appelés nombre relatifs, ils contiennent notamment -1987, -453, -45, -6, 3, 67, 89, 12345

l'ensemble de ces sous-ensembles de couples d'entiers sera appelé ZZ, ou encore ensemble des entiers relatifs.

Nous damettrons sans démonstartion que dans cahaue proposition mathémtique on peut remplacer (0,n) pr n ou réciproquement

c'est dans ce sens que l'on dira aue (O,n) peut être asimilé à n

C] Etudions un autre relation entre les couples d'entiers non plus naturels mais relatifs

Certains couples sont proportionnels

par exemple (2, 3) est proportionnel à (4, 6) de même que
(-1, 4) est proportionnel à (-3, 12)

par contre (2, 3) n'est pas proportionnel à (4, et (-1, 4) n'est pas proportionnel
à (-3, 15)

L'"expérience" semble prouver la proposition suivante que nous admettrons comme une définition

un couple (a,b) et un couple (c, d) d'entiers relatifs sont proportionnels

si et seulement si
ad-bc= 0 ou ad= bc

D) Sur l'ensemble des couples d'entiers relatifs nous pouvons encore découpler cet ensemble en sous ensembles de couples proportionnels entre eux

Nous remarqu'ons qu'il y a un sous ensemble V un peu différents des autres c'est celui qui contient tous les couples du type (n entier, 0)

Dans chacun de ces sous ensemble S sauf dant V, composé de couple (a,b) , il y a un élément particulier, cet élément appelé (a', b') est tel que il n'y ait aucun nombre qui ne divise à la fois a' et b' et que b' soit un entier naturel non nul.

Nous allons à présent sélectionner chacun de es élméents particuliers pour cahque sous ensemble

Nous aurons par exmeple (-5, 6) , (56, 7) mais pas (12, 14) car 2 divise à la fois
12 et 14 et pas (2, -3) car -3 est négatif ni (453,0) car b doit ^ter non nul

(2,3) est en fait un repréentant privilégié de toute une famille de couples
(6, 9); (14, 21); (202, 303)

Il sera notté 2/3 mais il ne faut pas oublier que sa vraie écriture est (2,3)

L'ensemble de ces représentant privilégiés auquel on rajoute 0 qui représente lui ausi un sous ensemble mais particulier sera appelé QQ l'ensemble des nombres rationnels

Il faut remarquer que chaque entier est un repréentant privilégié, pr exemple 125= 125/1
Chaque entier est un rationnel.

E] Sur tous les ensembles définis jusqu'à présent , on peut vous définir, l'addition, la soustraction et la multiplication.
La division n'est possible qu'à partir de QQ
Nous supposons comment faire toutes ces opérations qui se font comme on vous l'a appris à l'école ou au collège.

F] A présent nous allons définir

a) une suite c'est une application, c'est à dire une flêche qui à cahque entier lui fait correspondre un nombre rationnel de QQ

par exemple si u est une suite, u peut faire correspondre ls nombres suivants

à 0---------> 5/7
1---------> 6/5
2---------> 3
3---------> -56/77
4---------> 0
5---------> 12786
6---------> 5/ 768 984

Interressons nosu aux suites convergentes:

Certaine suite font n'importe quoui, elle passent arbitrairement d'un nombre positif ou nul à un négatif ou nul , d'un entier (positif ou négatif ou nul ) à un rationnel non entier (positif ou négatif ou nul)

D'autre tournet autour de valeurs particulièrs sans jamais se rapprocher variment d'uen en particulier

par exemple

u: n-------> (-1)^n
ceci se notte u(n) = (-1)^n

un vaut parfois 1 parfois 2

Certaines suites peuvent se rapprocher d'un nombre netier, d'uatre d'un nombre rationnel

par xemple

si v(n) = 1/n+1 on voit que un se rapproche de 0 entier

si w(n) = 2n+1/3n+1 on voit que u(n) se rapproche de 2/3

ces suites qui se rapprochent d'un nombre rationnel possèdent une propriété interresante

ele tendent ver une limite rationnelle; étudion w(n) en train de se rapprocher "subrepticement" de 2/3

cela signifie que si on prend une distance très petetite autour de l, n'importe laquelle et si petite soit -telle par exemple
1/ 10 puissance 10

à partir d'un certain nombre N alors si dès que n dépasse N , un se retrouve collé contre 2/3 à 1/(10 puissance 10) près
c'est à dire dans ]2/3-(1/1O puissance 10), 2/3 + (1/10 puissance 10)[ !

Vérifier avec une calculatrice !

G] On remarque que ce genre de suites comme elles rappriochent de plus en plus leur nombres vers un objectif donné ont tendance naturellement à les srapppprocher les uns des autres entre eux, car pour deux nombres qui veulent effeleurer 2/3 à 1:(10 puiissance 10 près sont obligés d'être au plus disctincts de 2/(10 puissabnce 10) .

Or il y a des suites (dites de Cauchy) qqui rapprochent leurs nombres aussi près que l'on veut les uns des autres, mais sans pour autant se rapprocher d'aucun rationnel !

Voila coment on pourrait les définir

Soit d une distance la plus petite soit-elle

alors il existe un entier N
tel que dès que n et po deux entiers sont plus garnds que N

alors la distanace entre un et up est < d ?

Et si deux suites de cauchy u et v sont telles que non seulement elles sont de Cauchu mais qu'en plus la suite v-u tende vers 0 , nous dirins que u et v ont une relation privilégiées, et qu'eles définiri=ont avec toutes les suites w tells que w s=oit ausi de cauchy et que w-u tende vers 0, une "classe d'équivalence".

CE sont ces classes d'équiavlencs , qu'à raison ou ç tort selon AntiSubjectiviste nous allons appeler les nombres réels.
________________________________________________

NOUS POUVONS REPONDRE ENFIN POURQUOI 9,9999999999999999999.... = 10

a) qu'est ce que 0,9999999999999999999....?

c'est la suite u telle que
0----->0
1----->0,9
2----->0,99
3----->0,999
4----->0,9999
...
n----->0,9999999999999....9999 (n "9" écrits après la virgule)
Dans cette démonstratuion x est une suite, et non un nombre à virgules

EN EFFET VOUS N'AVEZ PAS LE DROIT DE DIRE QUE 10x = 9,9999999999......
CAR ON N'A PAS LE DROIT DE MULTIPLIER LES NOMBRES A VIRGULES? MAIS SEULEMENT LES SUITES

Qu'est ce que 10
c'est la suite v tele que
0----->10
1----->10
2----->10
3----->10
4----->10
...
n----->10
_______________

10x et v sont deux suites de Cauchy
et (v-10x)[n] = v[n]-(10x)[n] = 0,0000000000000000000001 avec n-1 "0"
donc (v-u)[n] ----> 0

donc u etv sont deux suites de cauchy tele que v-u --->0 donc u et v sont de la même classe
donc u et v sont le même nombre réel
donc u = v

Héhé, de toute façon c'est un principe de base des maths, ne pas l'accepter, c'est remettre en cause le reste des maths et par la meme occasion notre facon de percevoir le monde, et ce meme si cela "parait" bizarre, et d'ailleurs en allant plus loin notamment en physique quantique, il ya pas mal de petites expériences dont les résultats peuvent paraitre bizarres mais pourtant vrai:

Un petit exemple; en admettant que le vitesse de la lumière est une constante, quelqu'un qui aurait une torche et la pointerait dans une direction, la lumière émise aurait une certaine vitesse. Prenons maintenant quelq'un dans un train qui pointerait lui aussi une troche dans la meme direction, normalement les deux vitesse devraient s'additionner et un faiseau lumineux irait plus vite que l'autre, c'est qui parait logique. Pourtant, ils arrivent en meme temps, et avec la meme vitesse, comme v=d/t , c'est donc le temps qui a changé, ainsi le temps qui s'écoule dans le train et a l'extérieur n'est pas le meme, ça parait bizarre mais c'est comme ça, il faut bien l'accepter....

Wolmar a écrit:

Avis aux matheux, svp expliquez-moi !
x=0.99999..................
10x=9.99999............
10x-x=9
9x=9
x=1
?????

N'ayant nullement été entendu car trop long, je vais vous faire la réponse courte que vous attendez.

En maths, dans l'ensemble des nombres "réels", à virgules, quand deux nombres x et y sont différents, on peut toujours en trouver un troisième z différents des deux et entre les deux, c'est à dire tel que x<z<y

Vous pouvez prendre par exemple (x+y)/2

Or là, ETES VOUS CAPABLE
D'INTERCALER UN NOMBRE
ENTRE 0,999999999999.... et 1 ?
Non !
Donc ces deux nombres sont égaux

b) je vous redis quand même ma démonstration en peu de lignes, c'est à dire sans les prérequis, mais c'est normal de ma part, car vous ne lisez pas les prérequis.

En réalité R l'ensemble des nombre réels, est un ensemble de classes d'équivalence de suites de Cauchy à valeurs rationnelles (je n'explique pas, parceque si vous voyez des pages d'équations vous allez zapper)
0,9999999.... est une suite de Cauchy à valeurs rationnelles
1 est aussi une suite de Cauchy à valeurs rationnelles

Ces deux suites sont dans la même classe d'équivalence car
elles sont en relation l'une avec l'autre par la relation concernée

Un suite u est en relation avec une suite v si en prenant n arbitrairement grand on peut rendre pour tout p supérieur à n, |up-vp| arbitrairement petit.

dans R où on ne regarde que les classes d'équivalences,
la classe d'équivalence de 0,99999.... étant la même que celle de 1,
ils sont égaux.

ETES VOUS CONVAINCUS ?

D'autre part, je rajoute que
a) les maths sont une discipline totalitaire
b) vous avez les axiomes de la logique et les axiome de la théorie des ensembles (ZF) On laissera de côté les théories de Lobatchevski et de Riemann.
En maths vous ne pouvez écrire une phrase qu'en vous appuyant sur ces axiomes ou sur un théorème découlant de ces axiomes.

Or celui qui s'est permis d'écrire que
si x= 0,99999999999999...
alors 10x = 9,999999999999999............

l'a écrit sans s'appuyer sur les axiomes logiques ou de la théorie des ensembles.

Cette écriture est HORS MATHS !

Ainsi tout le raisonnement est un SOPHISME !
_________

Cependant 0,9999999999999.... est bien égal à 1
mais la démonstration doit être autre.

Matheux a écrit:

Cependant 0,9999999999999.... est bien égal à 1
mais la démonstration doit être autre.

1=0.9999999...
Sa reviens a dire qu'une valeur a laquelle on enlève une infime partie est égale a l'entité qu'elle était avant cette extraction. C'est complètement illogique, pour ne pas dire plus...
Après je ne doute en aucun cas que l'on puissent arriver a faire tendre une fonction vers l'infini, ou considérer une suite avec U(0)=0 et U(n)= U(n-1)+10^(-n). Et la faire converger vers 1 (se qui ne veux pas dire qu'elle est égale a 1!) Mais voici une démonstration par récurrence qui devrai te démontré que U(n-1)+9*10^(-n)<1 si U(0)=0.
Soit que 0.9999... (avec un nombre infini de 9) est strictement inférieur a 1.

U(0) = 0
U(n) = U(n-1)+ 9.10^(-n) ; n <> IR*
V(n) = U(n-1)
W(n) = 9.10^(-n)
V(n) + W(n) = U(n)
U(0) = 0 = V(0) + W(0)
V(n) = U(n-1) => U(n) = V(n+1) => U(0) = V(0+1) = V(1) = 0
V(n+1) = U(n) = U(n-1) + 9.10^(-n) = V(n+1) = V(n) + W(n) => V(n) = V(n-1) + W(n) => V(n-1) = V(n) – W(n)

En-suite(^^):
Regardons, si et comment, U(n) est croissant:
U(n) < U(n+1) => V(n) + W(n) < V(n+1) + W(n+1)
=> U(n) < U(n) + W(n+1)
Donc, si W(n+1), (ou W(n)) est positif. Il influencera seul l'accroissement de U(n).
W(n) = 9.10^(-n)>0 (Je n'ai peut-être pas besoin de démontrer çà, non?) W(n) est positif!
Donc U(n) est strictement croissant.

Donc si U(n) = U(0) + W(1) + W(2) + W(3) + ... + W(n)+W(n+1) < 1
Montrons que W(1) est vrai:
W(1) = = 0,9 => 0,9 < 1 => W(1): Vrai!
W(2) = 9.10^(-2) = 0,09
W(3) = 0,009
Remarque: La proposition est « vrai » quand W(n).10^(n) = 9
W(1) . 10^(1) = 9.10^(-1).10^(1) = 9 =>W(1): Toujours vrai!
Supposons W(n) comme vrai. Et vérifions pour W(n+1).
W(n+1).10^(n+1) = 9. 10^(-n+1).10^(n+1) = 9*1=9

U(n) = U(0) + W(1) + W(2) + W(3) + ... + W(n)+W(n+1) < 1!
Donc 0,99999.... (avec une infinité de 9) est strictement inférieur a 1!
Mais je pense que le début de mon poste est bien plus explicite.
Au moins j'ai réviser mes suites^^
(Si j'ai fait des erreurs dite le moi! Il y en a surement!)

"Sa reviens a dire qu'une valeur a laquelle on
enlève une infime partie est égale a l'entité qu'elle était avant cette
extraction."

Sauf que cette infime partie "enlevée" est infiniment petite, et déclarée égale à zéro. Si elle ne l'était pas, on pourrait en trouver une encore plus petite, et donc créer un nombre encore plus proche de 1, et le nombre de départ ne serait par conséquent pas 0.999999999...

Maeander a écrit:

Sauf que cette infime partie "enlevée" est infiniment petite,

Infiniment petite, mais existante?

Maeander a écrit:

et déclarée égale à zéro.

Donc, déclarée inexistant... Je pense que tout est la dedans. Souété que l'écart soit inexistant car l'erreur serait infime vu que tout est infiniment petit. (Et que les pointillé ne nous permet pas de mieu travailler l'infini.) Disont, que c'est plus vrai que ne rien faire.

Maender a écrit:

Si elle ne l'était pas, on pourrait en trouver une encore plus petite, et donc créer un nombre encore plus proche de 1, et le nombre de départ ne serait par conséquent pas 0.999999999...

Pas si c'est un irrationnel particulié. Et apparement s'en ai un!

C'est pas une question de rationnel ou pas, tant que c'est un nombre réel on peut.
Dès lors qu'on a deux nombres réels différents, il est toujours possible d'en trouver un troisième entre les deux. (Pour s'en convaincre il suffit de se représenter l'ensemble des réels comme une droite continue)

Le problème de compréhension vient du concept d'infini.
Tu raisonnes comme si l'infini était vachement grand, mais fini.
Ici il n'y a pas d'erreur. "L'erreur est infiniment petite", et ce "infiniment petite" veut dire "égale à zéro", et pas "infinitésimal" ici.

Maeander a écrit:

C'est pas une question de rationnel ou pas, tant que c'est un nombre réel on peut.
Dès lors qu'on a deux nombres réels différents, il est toujours possible d'en trouver un troisième entre les deux. (Pour s'en convaincre il suffit de se représenter l'ensemble des réels comme une droite continue)

C'est ça le truc!!!^^
L'ensemble des irrationnels n'est pas compris dans celui des réels!

Maeander a écrit:

Le problème de compréhension vient du concept d'infini.
Tu raisonnes comme si l'infini était vachement grand, mais fini.

Non, mais je raisonnes comme si l'infiniment petit est aussi réel que l'infiniment grand...

Maeander a écrit:

Ici il n'y a pas d'erreur. "L'erreur est infiniment petite", et ce "infiniment petite" veut dire "égale à zéro", et pas "infinitésimal" ici.

"Infiniment petit" veut toujours dire "infinitésimal".
Mais on ne sait pas toujours le calculer. Ou il n'est pas toujours nécessaire de la calculer.

Bien sûr que si les irrationnels sont réels.

Citation :

Les nombres réels (dont l'ensemble est noté ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu'ils soient positifs, négatifs ou nuls, ayant une représentation décimale finie ou infinie. Autrement dit, ce sont les rationnels
(qui peuvent s'écrire sous forme de fraction) complétés par les nombres
dont la représentation décimale est infinie non périodique^[1], tels la racine carrée de 2 et π. Ces derniers sont appelés nombres irrationnels.

Infinitésimal c'est extemement petit. Infiniment petit, c'est zéro.
Quoi que tu prennes de plus grand que zéro, je peux te répondre qu'il existe encore plus petit : le zéro. Donc tu n'étais pas à l'infiniment petit, s'il y a encore plus petit.

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