De la contradiction

Vas prendre des vacances mon gros.

Wolmar a écrit:

mais puisque la négation de "toujours" est à la fois"jamais" et "parfois", alors il existe une possibilité pour la proposition "je mens" d'être un paradoxe complet il me semble

Non : la négation de "toujours" n'est pas à la fois "jamais et "parfois", elle contient à la fois "jamais" et "parfois". Cela signifie qu'il n'y a aucun cas de figure où la négation de "toujours" se réduit à "jamais" uniquement (c'est ce que tu cherches ...).

Tu peux le voir de façon ensembliste, encore une fois.

Soit P l'ensemble des phrases que je dis. Traduisons les énoncés qui nous intéressent en affirmations à propos des élements de P :

(A) "Tous les éléments de P sont faux" = "Je mens toujours"
(B) "Tous les éléments de P sont vrais" = "Je ne mens jamais" = "Je dis toujours la vérité"
(C) "Il existe des éléments vrais dans P" = "Je dis parfois la vérité" = "Je mens parfois, sachant que je dis la vérité au moins une fois"

Alors on a que :

non(A) = (C) : c'est clair vu les énoncés en rouge et les règles de négation en logique
(B) implique (C), mais l'inverse n'est pas vrai; donc (B) n'est pas équivalent à (C), ou encore (B) n'est pas équivalent à non(A)

Autrement dit, la négation de "Je mens toujours" n'est pas "Je ne mens jamais" et ce n'est jamais le cas logiquement parlant.



Nier (A) revient à affirmer (C). Si j'ai menti en disant (A), ça signifie que (A) est nié, ce qui revient à affirmer (C). Il me suffit alors de dire une fois une vérité quelconque et de mentir lorsque je dis (A), ce qui rendrait (A) simplement faux sans aucune contradiction.

Bon amusement

Citation :

... et ce n'est jamais le cas logiquement parlant.

Il suffirait d'inventer un nouveau type de logique ou la négation de "toujours" serait "jamais" et ou la négation de "jamais" serait "toujours".

Ensuite on verrait si ce genre de logique peut donner des résultats intéressants.

Tu sais qu’avec des 1 et des 0 on obtient déjà des résultats fantastiques ?

Mais on pourrait également explorer une logique qui comprendrait des notions comme « parfois », « peut-être » ou « presque »

Quand j’aurais cinq minutes, je lirai ceci.

Atil a écrit:

Citation :

... et ce n'est jamais le cas logiquement parlant.

Il suffirait d'inventer un nouveau type de logique ou la négation de "toujours" serait "jamais" et ou la négation de "jamais" serait "toujours".

Ensuite on verrait si ce genre de logique peut donner des résultats intéressants.

Suffit d'essayer. Affirmation : "Les nombres entiers sont toujours pairs." C'est faux, donc sa négation est vraie. Or selon ta logique, sa négation est "Les nombres entiers ne sont jamais pairs", ce qui est également faux.

À toi de voir si c'est prometteur comme logique...

Citation :

C'est faux, donc sa négation est vraie.

Ca, ca reste à voir si c'est valable dans un tel système.

Les preuves, toujours les preuves. Eh oui, c'est comme ça.

Duan Yu a écrit:

Suffit d'essayer. Affirmation : "Les nombres entiers sont toujours pairs." C'est faux, donc sa négation est vraie. Or selon ta logique, sa négation est "Les nombres entiers ne sont jamais pairs", ce qui est également faux.

À toi de voir si c'est prometteur comme logique...

D’un autre côté, à quel point est-il pertinent de déclarer « les nombres entiers sont parfois pairs » ?

Dès qu’on la formalise, la logique floue devient probabiliste (Les nombres entiers sont pairs une fois sur deux ), ce qui renvoie au binarisme (un nombre entier est pair ou ne l’est pas).

Atil a écrit:

Citation :

C'est faux, donc sa négation est vraie.

Ca, ca reste à voir si c'est valable dans un tel système.

On choisit sa validité : j'ai implicitement supposé que l'on était dans la logique classique avec une seule modification : celle de la définition de la négation. Ma phrase que tu cites découle de l'acceptation, en logique classique, du principe du tiers-exclus.

On peut rejeter ce principe et faire de la logique intéressante, malheureusement cela exigerait d'abord de consolider des bases autour du rejet du tiers-exclus, avant d'aborder à nouveau la définition de la négation. Je ne m'y connais absolument pas en logique non-classique, donc je dois laisser ça en suspens.

Ornicar a écrit:

D’un autre côté, à quel point est-il pertinent de déclarer « les nombres entiers sont parfois pairs » ?

Dès qu’on la formalise, la logique floue devient probabiliste (Les nombres entiers sont pairs une fois sur deux ), ce qui renvoie au binarisme (un nombre entier est pair ou ne l’est pas).

C'est pertinent simplement parce que c'est vrai, en logique classique. Bien sûr, ce n'est pas un résultat puissant, si c'est ça que tu voulais dire...

Par contre, tu pourrais réappliquer ton interprétation de logique floue avec un exemple un peu moins basique du genre "Tous les nombres entiers sont premiers" ? ...

Citation :

Je ne m'y connais absolument pas en logique non-classique, donc je dois laisser ça en suspens.

Mais, étant donné qu'il existe plusieurs systèmes logiques possibles , comment peut-on dédure des vérités à partir de LA logique ?
Quelle logique doit-on utiliser ?
Un seul type de logique est-il valable selon le genre de problème ?
Ou alors plusieurs ?
Ou alors tous les types de logiques sont-ils interchangeables ?
Si deux types de logique donnent des résultats différents à un problème, quelle solution choisir ?

C'est une question compliquée car une théorie mathématique ne se réduit pas à des affirmations logiques. Disons qu'une théorie mathématique est formée de :
- un ensemble de définitions (essentiellement intuitives) : ce sont les objets de base de la théorie
- un ensemble d'axiomes à propos de ces objets
- une logique, qui va déterminer la nature d'une déduction
- une cascade de déductions faites à partir de ces axiomes, à propos des objets définis.

Ça c'est une théorie mathématique. Pour qu'une théorie mathématique soit vraie, on exige que ses déductions soient valides vis-à-vis de la logique utilisée et qu'il existe au moins un exemple d'objets mathématiques "concrets" qui vérifient la théorie (on appelle ça un "modèle" de la théorie). Une théorie sans modèle qui la vérifie est une théorie vide, car elle décrit des propriétés que rien ne possède.

Exemple de théorie : la géométrie euclidienne, dont les objets sont les points, les droites, ... Les axiomes sont ceux d'Euclide et on a les théorèmes qui en découlent. La logique utilisée est la logique classique, et un modèle de géométrie euclidienne est ce qu'on appelle l'espace euclidien à 3 dimensions.

Autre exemple de théorie : la géométrie non-euclidienne hyperbolique :
- dont les objets sont toujours des points et des droites,
- dont les axiomes sont les axiomes d'Euclide sauf le dernier qui est modifié,
- dont la logique est classique,
- dont un modèle, historiquement révolutionnaire, est le demi-plan de Poincaré (surfez pour plus d'infos). Noter que cette géométrie n'a pas été acceptée tant qu'on n'avait pas de modèle qui la vérifie.



Ainsi quand on change de logique dans une théorie, il faut encore que cette théorie soit vérifiée par au moins un modèle, pour qu'on sache qu'elle ne parle pas dans le vide. C'est bien beau d'avoir une théorie selon laquelle tous les nombres sont pairs, mais s'il n'existe aucun modèle, ça revient à dire que cette théorie parle de nombres qui n'existent pas, mathématiquement parlant.

Autrement dit c'est en regardant notre monde qu'on constate si le système logique que l'on utilise est utilisable dedans.

Non, un modèle n'est pas a priori lié au monde physique, bien qu'il apporte un aspect concret (c.-à-d. non formel) aux théories mathématiques.

Citation :

il faut encore que cette théorie soit vérifiée par au moins un modèle,

Et on le sort d'ou ce modèle ?

Ben de ta tête ...

Un modèle c'est une sorte de monde qu'on fabrique dans sa tête. Ca peut aussi être une simulation informatique. Ou alors ca peut être notre monde.
Mais ca revient au même : un monde est la devant nous et on le regarde pour voir si la logique choisie y fonctionne bien.
On se sert donc de nos sens pour regarder si la loqique se comporte comme prévu, tel un animal qu'on relache dans la nature pour voir s'il va bien s'acclimater.

Je t'invite à t'informer sur les modèles afin de mieux cerner ce qu'ils sont : c'est l'objet de la "théorie des modèles", une branche moderne de la logique.

Oublié d'ajouter : parce que non, un modèle n'est pas nécessairement une abstraction du monde physique, ni n'est inspiré par lui. Ce n'est pas nécessairement avec les sens que l'on construit un modèle, c'est surtout avec la tête.

Un modèle n'est pas nécessairement géométrique non plus, ce n'est le cas que pour des théories en géométrie (sans blague). Pour des théories algébriques par exemple, un modèle peut être aussi bien une classe de nombres particulière qu'une classe de fonctions.



Il faut oublier le monde physique et les sens quand on fait des maths pures, ce que ne font pas les rares qui ont encore une conception empiriste des maths...

Je ne parlais pas de mondes physiques.

Je parlais tout simplement de mondes, quels qu'ils soient.

A quoi ce sert, finalement, un modèle, si ce n'est pour "voir" si un nouveau système logique fonctionne ?

Si ce n'est pas à ca que ca sert, alors quelle diférence y a t-il entre un modèle et un système logique ?

Si tu mets voir entre guillemets, alors c'est OK. Les guillemets signifiant que c'est voir au second degré, donc pas nécessairement avec nos petits yeux et nos petits sens corporels.