Peut-on attribuer une valeur de véritée ?

Tout est logique mais ce que l'on appelle logique est fondé sur une algèbre de Boole avec deux éléments vrai-faux maintenant considerez ceci:
On peut définir tout algèbre de Boole pour tout ensemble de cardinal n tel qu'il existe u est un entier naturel on obtient: n = 2^u

Il s'agit en fait des opérations "union" et "intersection" que l'on utilise avec les éléments de l'ensemble de toutes les parties d'un ensemble E de cardinal n
et en considerant l’élément "ensemble vide" est de valeur: faux et l’élément "ensemble E" est de valeur: vrai
tous les autres éléments sont ni vrais ni faux
On peut donner une valeur de vérité:
la valeur de vérité de la sous partie de cardinal k sera donnée par l'expression:
k / n
par conséquent si k = 0 on obtient la valeur 0
si k = n on obtient la valeur 1
C.Q.F.D. (je précise que ce n'est pas de moi mais de Boole logicien du XIX ieme siecle)

à present:ayant defini un ensemble E={e1,e2,e3,...,eu} d'axiomes(c'est à vous de les definir)
cet ensemble E contiens donc u elements
vous constituez l'ensemble de toutes ses parties P(E) celui-ci contenant l'ensemble vide Ø et l'ensemble E
P(E) = { Ø , {e1} , {e2} , ... , {eu} , {e1,e2} , {e1,e3} ,..., E }
cet ensemble P(E) contiens donc 2^u elements on pose n=2^u
par ailleurs pour tout x de P(E) on note k(x) la quantite d'axiome qu'il contiens ainsi: k( {e1,e2} ) = 2


Tout d'abord on traduit les operateurs logiques: "et" "ou" "=>" (CAD l'implication") "<=>" (CAD equivallence)
avec la loi "union" que l'on note "+" et la loi "intersection" que l'on note "."

par ailleurs on note le complementaire de X en utilisant la notation -X pour explication
par exemple E={ e1, e2 ,e3 } donc P(E)= { Ø ,{e1},{e2},{e3},{e1,e2},{e1,e3},{e2,e3}, E }
ainsi par exemple si x={e1} alors son complementaire -x= {e2,e3}

On obtiens:

X "ou" Y se traduit par: X + y

X "et" Y se traduit par: X . y

X "=>" Y se traduit par: -x + y

X "<=>" Y se traduit par: ( x + (-y) ) . ( -x + y )

enfin on calcule la valeur de verité d'une phrase logique:
par exemple si la phrase logique est ( x + (-y) ) . ( -x + y )
sa valeur est donnée par:

k ( ( x + (-y) ) . ( -x + y ) ) / n

Applications possibles :litterature et psychologie mais en admettant de pouvoir augmenter la composition de votre ensemble axiomatique E

Saphiraméthyste

Algebre de Boole 2eme partie
Jusqu'à present on a vu comment travailler sur un ensemble fini à present construisons la possibilitée de travailler sur un ensemble dont on peut toujours augmenter la quantité de ses axiomes
on utilise l'ensemble des relatifs Z pour le calcul de la valeur de verite on emploie une formule differente car Z est infini

La valeur de verite sera donnée par l'expression : 1 - 1/k(X)
*ormis lorsque X=0 dans ce cas on pose la valeur 0
en fait lorsque X= 0 on obtiens (Je vais m'expliquer) k(X)=0 par consequent lorsque k(X) = 1 et k(X) = 0 on obtiens la même valeur nulle de verité
*ormis Lorque X=1 on n'attribue pas de valeur à k(X) on obtiens la valeur de verité 1
*ormis lorsque X < 0 dans ce cas la valeur de verite sera 1

Le complementaire de x que l'on note -x est donné tout simplement en effectuant la soustraction usuelle 1 - X par exemple pour X=3 on obtiens 1 - 3 = -2
donc si X = 3 alors son complementaire est (-X) = -2 ( par consequent selon ce qu'on viens de dire sa valeurs de verite vaut 1)

cas1) on considere pour quelque soit X est un entier relatif
X+0=X
X+1=1
X+X=X
X+(-X)=1

X.0=0
X.1=X
X.X=X
X.(-X)=0

cas2)Lorsque X et Y sont superieurs ou egal à 2
A tout entier naturel superieur ou egal à 2 (donc inclus dans Z) on fait correspondre des ensembles d'entiers naturels inclus dans N*(c'est à dire demuni de l'element 0)selon le principe tres simple:

2 -> {1}
3 -> {2}
4 -> {1,2}
5 -> {3} en fait on fait entrer un nouveau entier naturel car on a exploité tout ce que l'on pouvait construire comme ensembles avec les autres entiers naturels inferieurs à celui-ci
6 -> {1,3}
7 -> {2,3}
8 -> {1,2,3}
9 -> {4} on fait donc entrer l'entier naturel 4 qui suit directement les trois premiers car on a exploité tout ce que l'on pouvait construire comme ensembles avec les autres entiers naturels inferieurs à celui-ci
10 -> {1,4} on a compris le principe ...

on utilise les mêmes operateurs que precedemment + et .
ainsi donc par exemple : {2,3} + {4} = {2,3,4} donc on peut ecrire 7+9=15
car en appliquant la procedure 15 -> {2,3,4}
{2,3} . {4} = Ø donc on peut ecrire 7.9=0 car on fait correspondre Ø à 0

cas 3)Lorsque X et Y sont inferieurs à 0
à present considerons X et Y tous deux negatifs
pour ce faire on applique le theorême:
X + Y = - ( (-X) . (-Y) )
X . Y = - ( (-X) + (-Y) )

dans ce cas le calcul se ramene comme precedemment puisque -X et -Y sont superieurs à zero

cas4)Lorsque X est superieur ou egal à 2 et Y inferieur à 0
on determine l'ensemble qui correspond à X et que l'on note:
{ x1 , x2 , ... , xp }
on determine l'ensemble correspondant à -Y (c'est possible puisque ici -y est positif) et que l'on note:
{ z1 , z2 , ... , zq }
Ensuite on determine l'ensemble correspondant à X . (-Y) dans ce cas soit X . (-Y) = 0 et donc cet ensemble est Ø soit on le note:
{ t1 , t2 , ... , tm }

à present dans le langage des ensembles on considere la notation A \ B qui signifie A ormis B et n'est possible que si B est inclus dans A (pour ce qui nous interesse on tombera toujours sur cette possibilite)
pour determiner A \ B il suffit de construire l'ensemble composée de tous les elements de A qui n'appartienne pas à l'ensemble B


*premier sous cas lorsque X . (-Y) = 0 on obtiens X+Y=Y et X.Y=X

*deuxieme sous cas lorsque X . (-Y) = -Y on obtiens X + Y = 1
on recherche donc la valeur de X . Y cette valeur est positive et correspond à un ensemble que l'on doit determiner et que l'on note:
{ w1 , w2 , ... , wl }
on obtiens: { w1 , w2 , ... , wl } = { x1 , x2 , ... , xp } \ { t1 , t2 , ... , tm }


*troisieme sous cas lorsque X . (-Y) = X on obtiens X . Y = 0
on recherche donc la valeur de V = X + Y (ici on obtiens V est inferieur à 0 )
on obtiens (-V) correspond à l'ensemble { u1 , u2 , ... , uk } = { z1 , z2 , ... , zq } \ { t1 , t2 , ... , tm }
il suffit donc de determiner la valeur positive qui correspond à (-V) puis appliquer la soustraction usuelle 1 - (-V)

*quatrieme sous cas (j'emploi le symbole ± pour dire non egal) lorsque X . (-Y) ± 0 et lorsque X . (-Y) ± X et lorsque X . (-Y) ± (-Y)

on recherche donc la valeur de V = X + Y (ici on obtiens V est inferieur à 0 )
on obtiens (-V) correspond à l'ensemble { u1 , u2 , ... , uk } = { z1 , z2 , ... , zq } \ { t1 , t2 , ... , tm }
il suffit donc de determiner la valeur positive qui correspond à (-V) puis appliquer la soustraction usuelle 1 - (-V)

on recherche donc la valeur de W = X . Y elle correspond à un ensemble que l'on doit determiner et que l'on note:
{ w1 , w2 , ... , wl }
on obtiens: { w1 , w2 , ... , wl } = { x1 , x2 , ... , xp } \ { t1 , t2 , ... , tm }

Saphiraméthyste

Dans le concret, ca sert à quoi ?

à attribuer une valeur de verite à une phrase logique (algebre de Boole sur un ensemble infini d'elements -2emepartie-où a chaque nouvel axiome tu peut l'integrer dans une phrase logique)

C'est très utilisé en électronique et en informatique et la programmation logique est basée sur l'algèbre de Boole.
A noter que l'on distingue la logique du tiers exclus où tout ce qui n'est pas vrai est nécessairement faux et la logique du tiers inclus où il est possible qu'une valeur logique soit ni vraie ni fausse.
Après, on peut embrayer sur la logique des prédicats, des propositions du premier ordre, du deuxième ordre, sur la logique modale et temporelle, etc ....

Et on s'aperçoit qu'il n'existe pas une seule logique, mais des logiques.

Algebre de Boole: Definition et ce que l'on verifie

terme "SSi" litteralement "si et seulement si"

terme "QQS" litteralement "quelque soit"

terme " ± " litteralement "non egal"


On dit qu'un espace algebrique [ E , + , . ] est une algebre de Boole SSi les lois + et .
1)sont commutatives
2)sont associatives
3)forment une distribution
4)forment une idempotence

de sorte que:

QQS X dans E on obtiens:
l'endobijection dans E que l'on note (-X) attention ici - designe le symbole de l'endobijection et non pas le signe negatif telle que:
-X ± X
-(-X) = X
-0 = 1
-1 = 0

X + (-X) = 1
X . (-X) = 0
X + 0 = X
X . 1 = X
X + X = X
X . X = X
X + 1 = 1
X . 0 = 0

QQS X et QQS Y dans E on obtiens:

X + Y = Y + X et X . Y = Y . X

X + ( X . Y ) = X et X . ( X + Y ) = X

( X + Y ) + ( X . Y ) = X + Y et ( X . Y ) . ( X + Y ) = X . Y

-( X + Y ) = (-X) . (-Y) et -( X . Y ) = (-X) + (-Y)

X . Y = ( X + (-Y) ) . Y et X + Y = ( X . (-Y) ) + Y

QQS X et QQS Y et QQS Z dans E on obtiens:

( X + Y ) + Z = ( X + Z ) + ( Y + Z )

( X . Y ) . Z = ( X . Z ) . ( Y . Z )

Sylvania a écrit:

à attribuer une valeur de verite à une phrase logique (algebre de Boole sur un ensemble infini d'elements -2emepartie-où a chaque nouvel axiome tu peut l'integrer dans une phrase logique)

Pour moi ca n'a pas de sens réel dans notre monde physique.
Une proposition ne peut pas, par elle-même, être vraie ou fausse.
La vérité c'est un rapport entre deux choses. Seul ce rapport peut être vrai ou faux, mais pas les deux choses mises en rapport, individuellement.
Par contre on peut dire qu'une proposition est cohérente ou pas, selon la manière dont elle est construite.

Si je dis:
Le nom "Atil" et formé de 4 lettres
C'est une proposition qui est toujours vraie

Si maintenant je dis:
Atil est agé de 20 ans
C'est une proposition dont j'ignore la véracité mais qui a été vraie, est vraie ou sera vraie pendant 1 an

zizanie a écrit:

Si je dis:
Le nom "Atil" et formé de 4 lettres
C'est une proposition qui est toujours vraie

C'est une proposition dont le contenu est cohérent. Et puis c'est tout.
Je ne peux pas dire si elle est vraie puisqu'elle renvoit à elle-même et non pas à une donnée extérieure.
Si je traduis cette phrase en chinois, dira-t-elle toujours la vérité ?
Si je ne fais que prononcer cette phrase dans un monde où l'écriture n'existe pas, dira-t-elle toujours la vérité ?

Citation :

Si maintenant je dis:
Atil est agé de 20 ans
C'est une proposition dont j'ignore la véracité mais qui a été vraie, est vraie ou sera vraie pendant 1 an

On ne peut pas le savoir si on ne compare pas le contenu de la proposition avec des renseignements extérieurs. La proposition isolée n'a donc pas de valeur de vérité. Il faut la comparer avec l monde extérieur pour lui en attribuer une.

J'estime que les phrases auto-référentes, qui se décrivent elles-mêmes, n'ont pas de valeur de vérité réelle. D'ailleurs elles peuvent facilement engendrer des paradoxs ... donc des situations où l'on ne sait plus distinguer le vrai du faux.

Pour moi, "Atil" est un nom et non une auto-référence et dire qu'il se compose de 4 lettres sous entend que la langue écrite existe et qu'on écrit en français. On peut toujours tout expliciter à l’extrême évidemment mais je ne vois pas d'auto-référence ici.

Concernant la deuxième proposition, sa valeur de vérité ne peut être fixé qu'en connaissant la donnée extérieure "âge d'Atil". Mais il n'est pas nécessaire de le faire pour savoir qu'elle peut être vraie ou fausse à un instant donné. Elle ne peut pas être ni vraie ni fausse dans la mesure ou Atil existe comme un être doté d'un âge qui se compte en années.

"Voici une proposition auto-référente comportant huit fois la lettre i et qui est vraie"
est une proposition fausse puisqu'il y a neuf i dans la phrase mais
"Voici une proposition auto-référente comportant neuf fois la lettre i et qui est vraie"
est une proposition fausse également puisqu'il n'y a que huit i dans la phrase!

zizanie a écrit:

Pour moi, "Atil" est un nom et non une auto-référence et dire qu'il se compose de 4 lettres sous entend que la langue écrite existe et qu'on écrit en français. On peut toujours tout expliciter à l’extrême évidemment mais je ne vois pas d'auto-référence ici.

"Sous-entend que la langue écrite existe et qu'on écrit en français" signifie donc qu'il y a une autre proposition qui donne des indications supplémentaires.
Si je n'explique pas que la proposition est écrite dans l'alphabet latin, on ne peut guère dire si elle est vraie ou pas.
La vérité dépend toujours d'une relation entre deux choses.

Citation :

Concernant la deuxième proposition, sa valeur de vérité ne peut être fixé qu'en connaissant la donnée extérieure "âge d'Atil". Mais il n'est pas nécessaire de le faire pour savoir qu'elle peut être vraie ou fausse à un instant donné. Elle ne peut pas être ni vraie ni fausse dans la mesure ou Atil existe comme un être doté d'un âge qui se compte en années.

On ignore donc si la proposition est vraie ou fausse tant qu'on n'a pas regardé les données extérieures.
Il faut comparer la proposition avec ces données.
La vérité dépend toujours d'une relation entre deux choses.

zizanie a écrit:

"Voici une proposition auto-référente comportant huit fois la lettre i et qui est vraie"
est une proposition fausse puisqu'il y a neuf i dans la phrase mais
"Voici une proposition auto-référente comportant neuf fois la lettre i et qui est vraie"
est une proposition fausse également puisqu'il n'y a que huit i dans la phrase!

Si on dit "VOICI une proposition auto-référente..." c'est donc qu'on fait comme si on mettait en relation DEUX objets : La proposition elle-même prise en tenant compte de son sens, et la même proposition prise cette fois-ci dans son aspect alphabétique.
Je pourrait aussi bien mettre deux propositions différentes. La première indiquant le nombre de lettres contenues dans la 2ème. La 2ème contenant seulement une suite de lettres.

Atil a écrit:

zizanie a écrit:

"Voici une proposition auto-référente comportant huit fois la lettre i et qui est vraie"
est une proposition fausse puisqu'il y a neuf i dans la phrase mais
"Voici une proposition auto-référente comportant neuf fois la lettre i et qui est vraie"
est une proposition fausse également puisqu'il n'y a que huit i dans la phrase!

Si on dit "VOICI une proposition auto-référente..." c'est donc qu'on fait comme si on mettait en relation DEUX objets : La proposition elle-même prise en tenant compte de son sens, et la même proposition prise cette fois-ci dans son aspect alphabétique.
Je pourrait aussi bien mettre deux propositions différentes. La première indiquant le nombre de lettres contenues dans la 2ème. La 2ème contenant seulement une suite de lettres.

C'est que justement dans toute phrase, proposition ou autre, il y a toujours au moins un objet, la forme et si la phrase a un sens, un deuxième objet sémantique, le fond. Séparer ces deux objets en deux propositions casse le lien et l'autoréférence n'a plus d'existence.

Mais refuser l'autoréférence, c'est ne plus faire de philosophie car l'être, l'existence, la conscience sont des notions autoréférente.

En mathématiques, la liste des entiers naturels est définie par une autoréférence:
"un entier naturel est soit zéro, soit le successeur d'un entier naturel"
Faut-il pour autant se priver des entiers naturels?

Salutations(Je réecrit la totalité avec l'endobijection X* afin de ne pas confondre avec l'emploi des elements de Z)

Pour reprondre plus précisément à Atil et à zizanie

Si vous reprenez l'algebre de Boole sur un ensemble quelconque de cardinal 2^u avec u entier naturel quelconque ou sur un ensemble infini (dans mon exemple l'ensemble Z) vous pouvez attribuer n'importe qu'elle valeur aux propositions A,B et C

( ( A "OU" B ) "ET" ( A => C ) "ET" ( B => C ) ) => C

Je réecrit la totalité avec l'endobijection X* afin de ne pas confondre avec l'emploi des elements de Z

Dans l'intention que cela puisse vous être utile

conventions

terme " ± " litteralement "non egal"

terme "SSI" litteralement "si et seulement si"

terme "QQS" litteralement "quelque soit"


Algebre de Boole:Définition,je précise que ce n'est pas de moi mais de Boole logicien du XIX ieme siecle)



On dit qu'un espace algebrique [ E , + , . ] est une algebre de Boole SSI les lois + et .
1)sont commutatives
2)sont associatives
3)forment une distribution
4)forment une idempotence

De sorte que:

QQS X dans E on obtiens:
l'endobijection dans E que l'on note X* telle que:
X* ± X
(X*)* = X
0* = 1
1* = 0

X + X* = 1
X . X* = 0
X + 0 = X
X . 1 = X
X + X = X
X . X = X
X + 1 = 1
X . 0 = 0

QQS X et QQS Y dans E on obtiens:

X + Y = Y + X et X . Y = Y . X

X + ( X . Y ) = X et X . ( X + Y ) = X

( X + Y ) + ( X . Y ) = X + Y et ( X . Y ) . ( X + Y ) = X . Y

( X + Y )* = X* . Y* et ( X . Y )* = X* + Y*

X . Y = ( X + Y* ) . Y et X + Y = ( X . Y* ) + Y

QQS X et QQS Y et QQS Z dans E on obtiens:

( X + Y ) + Z = ( X + Z ) + ( Y + Z )

( X . Y ) . Z = ( X . Z ) . ( Y . Z )


Traduction des operateurs logiques:
On obtiens:

X "ou" Y se traduit par: X + Y

X "et" Y se traduit par: X . Y

X "=>" Y se traduit par: X* + Y

X "<=>" Y se traduit par: ( X + Y* ) . ( X* + Y )

ce qui sur E={0,1} donne:

0 + 0 = 0 Faux "ou" Faux = faux
0 + 1 = 1 Faux "ou" vrai = vrai
1 + 0 = 1 vrai "ou" Faux = vrai
1 + 1 = 1 vrai "ou" vrai = vrai


Algebre de Boole:Ensemble fini et principe de valeur de verite

On peut définir tout algèbre de Boole pour tout ensemble de cardinal n tel qu'il existe u est un entier naturel on obtient: n = 2^u

Il s'agit en fait des opérations "union" et "intersection" que l'on utilise avec les éléments de l'ensemble de toutes les parties d'un ensemble E de cardinal n
et en considerant l’élément "ensemble vide" est de valeur: faux et l’élément "ensemble E" est de valeur: vrai
tous les autres éléments sont ni vrais ni faux
On peut donner une valeur de vérité:
la valeur de vérité de la sous partie de cardinal k sera donnée par l'expression:
k / n
par conséquent si k = 0 on obtient la valeur 0
si k = n on obtient la valeur 1

Pour tout ensemble fini de cardinal 2^u avec u entier naturel
ayant defini un ensemble E={e1,e2,e3,...,eu} d'axiomes(c'est à vous de les definir)
cet ensemble E contiens donc u elements
vous constituez l'ensemble de toutes ses parties P(E) celui-ci contenant l'ensemble vide Ø et l'ensemble E
P(E) = { Ø , {e1} , {e2} , ... , {eu} , {e1,e2} , {e1,e3} ,..., E }
cet ensemble P(E) contiens donc 2^u elements on pose n=2^u
par ailleurs pour tout x de P(E) on note k(x) la quantite d'axiome qu'il contiens ainsi: k( {e1,e2} ) = 2

par ailleurs on note le complementaire de X en utilisant la notation X* pour explication
par exemple E={ e1, e2 ,e3 } donc P(E)= { Ø ,{e1},{e2},{e3},{e1,e2},{e1,e3},{e2,e3}, E }
ainsi par exemple si x={e1} alors son complementaire x*= {e2,e3}

Algebre de Boole:Traduction des operations sur les ensembles

"union" se traduit par +

"intersection" se traduit par .

X "ou" Y se traduit par: X + Y

X "et" Y se traduit par: X . Y

X "=>" Y se traduit par: X* + Y

X "<=>" Y se traduit par: ( X + Y* ) . ( X* + Y )


Algebre de Boole:Espace infini [Z , + , . ]

Jusqu'à present on a vu comment travailler sur un ensemble fini à present construisons la possibilitée de travailler sur un ensemble dont on peut toujours augmenter la quantité de ses axiomes
on utilise l'ensemble des relatifs Z pour le calcul de la valeur de verite on emploie une formule differente car Z est infini

La valeur de verite sera donnée par l'expression : 1 - 1/k(X)
*ormis lorsque X=0 dans ce cas on pose la valeur 0
en fait lorsque X= 0 on obtiens (Je vais m'expliquer) k(X)=0 par consequent lorsque k(X) = 1 et k(X) = 0 on obtiens la même valeur nulle de verité
*ormis Lorque X=1 on n'attribue pas de valeur à k(X) on obtiens la valeur de verité 1
*ormis lorsque X < 0 dans ce cas la valeur de verite sera 1

Le complementaire de x que l'on note x* est donné tout simplement en effectuant la soustraction usuelle 1 - X par exemple pour X=3 on obtiens 1 - 3 = -2
donc si X = 3 alors son complementaire est X* = -2 ( par consequent selon ce qu'on viens de dire sa valeurs de verite vaut 1)

cas1) on considere pour quelque soit X est un entier relatif
X+0=X
X+1=1
X+X=X
X+X*=1

X.0=0
X.1=X
X.X=X
X.X*=0

cas2)Lorsque X et Y sont superieurs ou egal à 2
A tout entier naturel superieur ou egal à 2 (donc inclus dans Z) on fait correspondre des ensembles d'entiers naturels inclus dans N*(c'est à dire demuni de l'element 0 à ne pas confondre avec le symbole complementaire)selon le principe tres simple:

2 -> {1}
3 -> {2}
4 -> {1,2}
5 -> {3} en fait on fait entrer un nouveau entier naturel car on a exploité tout ce que l'on pouvait construire comme ensembles avec les autres entiers naturels inferieurs à celui-ci
6 -> {1,3}
7 -> {2,3}
8 -> {1,2,3}
9 -> {4} on fait donc entrer l'entier naturel 4 qui suit directement les trois premiers car on a exploité tout ce que l'on pouvait construire comme ensembles avec les autres entiers naturels inferieurs à celui-ci
10 -> {1,4} on a compris le principe ...

on utilise les mêmes operateurs que precedemment + et .
ainsi donc par exemple : {2,3} + {4} = {2,3,4} donc on peut ecrire 7+9=15
car en appliquant la procedure 15 -> {2,3,4}
{2,3} . {4} = Ø donc on peut ecrire 7.9=0 car on fait correspondre Ø à 0

cas 3)Lorsque X et Y sont inferieurs à 0
à present considerons X et Y tous deux negatifs
pour ce faire on applique le theorême:
X + Y = ( X* . Y* )*
X . Y = ( X* + Y* )*

dans ce cas le calcul se ramene comme precedemment puisque X* et Y* sont superieurs à zero

cas4)Lorsque X est superieur ou egal à 2 et Y inferieur à 0
on determine l'ensemble qui correspond à X et que l'on note:
{ x1 , x2 , ... , xp }
on determine l'ensemble correspondant à Y* (c'est possible puisque ici Y* est positif) et que l'on note:
{ z1 , z2 , ... , zq }
Ensuite on determine l'ensemble correspondant à X . Y* dans ce cas soit X . Y* = 0 et donc cet ensemble est Ø soit on le note:
{ t1 , t2 , ... , tm }

à present dans le langage des ensembles on considere la notation A \ B qui signifie A ormis B et n'est possible que si B est inclus dans A (pour ce qui nous interesse on tombera toujours sur cette possibilite)
pour determiner A \ B il suffit de construire l'ensemble composée de tous les elements de A qui n'appartienne pas à l'ensemble B


*premier sous cas lorsque X . Y* = 0 on obtiens X+Y=Y et X.Y=X

*deuxieme sous cas lorsque X . Y* = Y* on obtiens X + Y = 1
on recherche donc la valeur de X . Y cette valeur est positive et correspond à un ensemble que l'on doit determiner et que l'on note:
{ w1 , w2 , ... , wl }
on obtiens: { w1 , w2 , ... , wl } = { x1 , x2 , ... , xp } \ { t1 , t2 , ... , tm }


*troisieme sous cas lorsque X . Y* = X on obtiens X . Y = 0
on recherche donc la valeur de V = X + Y (ici on obtiens V est inferieur à 0 )
on obtiens V* correspond à l'ensemble { u1 , u2 , ... , uk } = { z1 , z2 , ... , zq } \ { t1 , t2 , ... , tm }
il suffit donc de determiner la valeur positive qui correspond à V* puis appliquer la soustraction usuelle 1 - (V*)

*quatrieme sous cas (j'emploi le symbole ± pour dire non egal) lorsque X . Y* ± 0 et lorsque X . Y* ± X et lorsque X . Y* ± Y*

on recherche donc la valeur de V = X + Y (ici on obtiens V est inferieur à 0 )
on obtiens V* correspond à l'ensemble { u1 , u2 , ... , uk } = { z1 , z2 , ... , zq } \ { t1 , t2 , ... , tm }
il suffit donc de determiner la valeur positive qui correspond à V* puis appliquer la soustraction usuelle 1 - V*

on recherche donc la valeur de W = X . Y elle correspond à un ensemble que l'on doit determiner et que l'on note:
{ w1 , w2 , ... , wl }
on obtiens: { w1 , w2 , ... , wl } = { x1 , x2 , ... , xp } \ { t1 , t2 , ... , tm }

zizanie a écrit:

refuser l'autoréférence, c'est ne plus faire de philosophie car l'être,

Connait-on une seule philosophie de l'être qui ne soit pas une succession de phrases incompréhensibles ?




[quote] l'existence, la conscience sont des notions autoréférente.

Dire que l'existance existe c'est parler pour ne rien dire.
Quand à la conscience, elle n'est jamais auto-référente puisque, jusqu'à maintenant, personne n'a été capable de l'étudier sérieusement. Tous ceux qui s'y sont essayés ont confondu la conscience avec le contenu de la conscience.

Citation :

En mathématiques, la liste des entiers naturels est définie par une autoréférence:
"un entier naturel est soit zéro, soit le successeur d'un entier naturel"
Faut-il pour autant se priver des entiers naturels?

C'est pour ca que, à la limite, on ne peut jamais dire que les maths sont "vraies".
Certaines propositions y sont indécidables.
Tout dépend des postulats de départ.
Mais une fois que ceux-ci sont posés et tenus pour vrais (+ ou - arbitrairement), tout le reste doit rester cohérent avec eux.

C'est quoi une endobijection ?

Citation :

Traduction des operateurs logiques:
On obtiens:

X "ou" Y se traduit par: X + Y

X "et" Y se traduit par: X . Y

X "=>" Y se traduit par: X* + Y

X "<=>" Y se traduit par: ( X + Y* ) . ( X* + Y )

Quelle est la signification des symboles utilisés ici ?
"ou" correspond-t-il, dans le langage parlé, à un "ou inclusif" ou à un "ou inclusif" ?
"+" correspond-t-il bien à "plus" ?... c'est à dire à "et" dans le langage parlé ?
"." correspond à quoi ? A "multiplié par" ?
"=>" signifie quoi ici ?
"<=>" signifie quoi ici ?

Citation :

0 + 0 = 0 Faux "ou" Faux = faux
0 + 1 = 1 Faux "ou" vrai = vrai
1 + 0 = 1 vrai "ou" Faux = vrai
1 + 1 = 1 vrai "ou" vrai = vrai

Pourrait-on avoir des exemples avec des phrases tirées du langage parlé, le langage de tous les jours ?

Je ne donne que les definitions de base
elles ont l'avantage d'être claires(mais par contre pas d'application aux sciences humaines)
Deux propositions P et Q que l'on traitre comme des valeurs numeriques et sur lesquelles on dispose d'un minimum de quatre operateurs logiques Une operation loque au moyen d'un de ces operateur donne pour solution une proposition Z

1) L'opérateur "ET" dit conjonction
P "ET" Q est une proposition Z est vrai SSI P et Q sont vraies toutes deux dans le cas contraire Z est faux
dans l'espace algebrique Booléen[ E , + , . ] on l'a traduit par P.Q=Z
Dans E={0,1} on obtiens:
0 . 0 = 0
0 . 1 = 0
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1

2) L'opérateur "OU" dit disjonction
P "ET" Q est une proposition Z est vrai SSI au moins l'un des deux P ou Q est vrai dans le cas contraire Z est faux
dans l'espace algebrique Booléen[ E , + , . ] on l'a traduit par P+Q=Z
dans E={0,1} on obtiens:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1

3) L'opérateur "=>" dit implication
P => Q est une proposition Z toujours vraie sauf et uniquement dans ce cas lorsque P est vrai tandis que Q est faux
On rappelle 0*=1 et 1*=0
Cet operateur que l'on traduit par P*+ Q = Z

4) L'opérateur "<=>" dit equivallence
P <=> Q est une proposition Z est vraie SSi P et Q sont soient simultanéments vrais soient simultanement faux
dans le cas contraire Z est faux
Cet operateur que l'on traduit par ( X + Y* ) . ( X* + Y )

oui mais ....

∏ØÙÈÈÅıfi—ÎÙ ÎÈÅflÙıÈË Ë˙ ˆÅıȠΊη˘ØÈıË ?

alors peut-être que

˙ØÙfi ∏ØÙÈÈıØ˙fi Ø˚∏ÈË˙flÈË ∏ˆÙfi ‡ÅıˆË˚Ë˙Î !

mais je m'avance sûrement, s'agissant de mon comprenoir

Atil a écrit:

C'est quoi une endobijection ?

On dispose d'un ensemble d'element E une endobijection (de l'ancien grec endos dedans)
à tout element X appartenant à E on relie cet element à un autre element Y appartenant à E
(Ici je note cette endobijection X*= Y mais il s'agit d'une convention en algebre de Boole cette endobijection est generalement notée par une barree placer au dessus de X mais on peut aussi la noter f(X)=Y car une bijection est toujours une fonction )
Cet element y appartenant à E est relié à X on obtiens donc: X*=Y et Y* = X
Je n'ai pas compris le post precedent mais c'est pas grave
Atil tu dispose donc d'un outil en algebre de Boole à toi de savoir quoi en faire...
Salut
Cela ne me derange pas de te repondre etant donné que le travail demandé n'est pas long:
à deux ensembles A et B on considere une relation R qui relie les element s de A et de B on note cette relation A - > B : R(x)
A est dit l'ensemble de depart de la relation R et B l'ensemble d'arrivé
si R(x) = y ici x appartiens à A et y appartiens à B on dit que y est l'image de x sur B et on dit que x est l'antecedent de y sur A
si R(x) = {y1,y2,...yt} ici x appartiens à A et {y1,y2,...yt} est une partie de B donc yi appartiens à B on dit que yi est l'une des images de x sur B et on dit que x est l'antecedent d'un des yi sur A ainsi ici x possede plusieurs images sur B

On dit que la relation R est une fonction lorsque tout element X appartennant à l'ensemble A possede au maximum une seule image sur B
On dit que la relation R est une application lorsque tout element X appartennant à l'ensemble A possede obligatoirement une seule et unique image sur B(par consequent toute application est une fonction)
On dit qu'une application R est une bijection lorsque tout element Y appartennant à l'ensemble B possede obligatoirement une seul et unique antecedent sur A et cette bijection est une endoapplication dans A si en fait A=B

remarque: Si R est une bijection de A vers B tu comprendra qu'obligatoirement A et B ont le même nombres d'elements...sinon relis le post

Sylvania a écrit:

1) L'opérateur "ET" dit conjonction
P "ET" Q est une proposition Z est vrai SSI P et Q sont vraies toutes deux dans le cas contraire Z est faux
dans l'espace algebrique Booléen[ E , + , . ] on l'a traduit par P.Q=Z
Dans E={0,1} on obtiens:
0 . 0 = 0
0 . 1 = 0
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1

Donc "." se traduit par "ET" dans le langage vulgaire.
Exemple :
Marcel ET Lucien sont arrivés. Ca signifie qu'ils sont venus tous les deux. Sinon la phrase ne dit pas la vérité.
Et je pourrai dire qu'on a assisté à la venue de Marcel PLUS celle de Lucien.

Citation :

2) L'opérateur "OU" dit disjonction
P "ET" Q est une proposition Z est vrai SSI au moins l'un des deux P ou Q est vrai dans le cas contraire Z est faux
dans l'espace algebrique Booléen[ E , + , . ] on l'a traduit par P+Q=Z
dans E={0,1} on obtiens:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1

Ca se traduit donc par un OU inclusif en linguistique.
Exemple :
Le coupable c'est Marcel ou Lucien, ou alors les deux à la fois.

Citation :

3) L'opérateur "=>" dit implication
P => Q est une proposition Z toujours vraie sauf et uniquement dans ce cas lorsque P est vrai tandis que Q est faux
On rappelle 0*=1 et 1*=0
Cet operateur que l'on traduit par P*+ Q = Z

Ici le système me semble douteux ou imprécis.
Dans le langage parlé, il ne me semble pas y avoir de correspondance unique et exacte.

Citation :

4) L'opérateur "<=>" dit equivallence
P <=> Q est une proposition Z est vraie SSi P et Q sont soient simultanéments vrais soient simultanement faux
dans le cas contraire Z est faux
Cet operateur que l'on traduit par ( X + Y* ) . ( X* + Y )

Dans le langage parlé, cette situation correspond au cas ou p et Q sont une même chose (avec toutes les nuances possibles).
Exemple :
P est Q
P n'est autre que Q
P est semblable à Q
P = Q

[/quote]


Si un système logique n'est pas traduisible en langage courant, il faut craindre qu'il ne soit pas applicable à notre univrs, même s'il est cohérent en lui-même. un peu comme la géométrie non-euclifdienne ne correspond pas à notre univers (du moins, à notre échelle).

Sylvania a écrit:

Atil a écrit:

C'est quoi une endobijection ?

On dispose d'un ensemble d'element E une endobijection (de l'ancien grec endos dedans)
à tout element X appartenant à E on relie cet element à un autre element Y appartenant à E
(Ici je note cette endobijection X*= Y mais il s'agit d'une convention en algebre de Boole cette endobijection est generalement notée par une barree placer au dessus de X mais on peut aussi la noter f(X)=Y car une bijection est toujours une fonction )
Cet element y appartenant à E est relié à X on obtiens donc: X*=Y et Y* = X
Je n'ai pas compris le post precedent mais c'est pas grave
Atil tu dispose donc d'un outil en algebre de Boole à toi de savoir quoi en faire...
Salut
Cela ne me derange pas de te repondre etant donné que le travail demandé n'est pas long:
à deux ensembles A et B on considere une relation R qui relie les element s de A et de B on note cette relation A - > B : R(x)
A est dit l'ensemble de depart de la relation R et B l'ensemble d'arrivé
si R(x) = y ici x appartiens à A et y appartiens à B on dit que y est l'image de x sur B et on dit que x est l'antecedent de y sur A
si R(x) = {y1,y2,...yt} ici x appartiens à A et {y1,y2,...yt} est une partie de B donc yi appartiens à B on dit que yi est l'une des images de x sur B et on dit que x est l'antecedent d'un des yi sur A ainsi ici x possede plusieurs images sur B

On dit que la relation R est une fonction lorsque tout element X appartennant à l'ensemble A possede au maximum une seule image sur B
On dit que la relation R est une application lorsque tout element X appartennant à l'ensemble A possede obligatoirement une seule et unique image sur B(par consequent toute application est une fonction)
On dit qu'une application R est une bijection lorsque tout element Y appartennant à l'ensemble B possede obligatoirement une seul et unique antecedent sur A et cette bijection est une endoapplication dans A si en fait A=B

remarque: Si R est une bijection de A vers B tu comprendra qu'obligatoirement A et B ont le même nombres d'elements...sinon relis le post

Ca ne me dit pas à quoi ca correspond dans les situations du monde physique réel.

La logique doit être applicable à des situations physique réelle, sinon elle n'est qu'un jeu formel déconnecté de notre monde ... et donc inutile dans celui-ci.

vous me l'avez demandé je t'ai repondu à present si vous pensez que ça sert à rien alors c'est votre opinion qui compte pas la mienne
Au plaisir de vous avoir renseigné
à bientot